Cho các số thực dương a và b thỏa mãn a+ b^3 = 29, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a² + b - 19, ta sẽ giải hệ phương trình sau:
a + b^3 = 29
P = a² + b - 19

Đặt x = b^3, ta có hệ phương trình sau:
a + x = 29
P = a² + x^(1/3) - 19

Từ a + x = 29, suy ra a = 29 - x. Thay a vào biểu thức P, ta được:
P = (29 - x)² + x^(1/3) - 19
P = 841 - 58x + x² + x^(1/3) - 19

Đạo hàm của P theo x:
P' = -58 + 2x + (1/3)x^(-2/3)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta giải phương trình P' = 0:
-58 + 2x + (1/3)x^(-2/3) = 0
2x + (1/3)x^(-2/3) = 58
6x^(1/3) + 1 = 174
6x^(1/3) = 173
x = (173/6)^3

Thay x vào a = 29 - x, ta tính được a. Sau đó thay a và x vào biểu thức P, ta tính được giá trị nhỏ nhất của P.