a) Ta có:
- Gọi M là trung điểm của BC.
- Ta có: $\angle AHB = 90^{\circ}$ (vì AH là đường cao của tam giác ABC).
- Vậy ta có: $\angle AOB = 2\angle ACB = 2\angle AHB = 180^{\circ} - \angle AHB = 90^{\circ}$.
- Do đó, tam giác AOB vuông tại O.
- Khi đó, ta có: $AE.AC = 2R^2 \sin \angle A \sin \angle C = AH.AO$ (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

b) Ta có:
- Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AOH.
- Ta có: $\angle AIH = 2\angle AOH = 2\angle ACB = \angle AKB$.
- Vậy ta có: AI // BK.
- Khi đó, ta có: $\angle IKB = \angle AIH = \angle ACB = \angle ADB = \angle HDB = \angle HCB = \angle HGB$.
- Vậy ta có: IG // BC.

Như vậy, đã chứng minh được cả ba câu hỏi.