Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng nguyên lý của phép chia dư.

Gọi a1, a2, ..., a9 là 9 số tự nhiên bất kì.

Ta có tổng của 9 số này: S = a1 + a2 + ... + a9.

Nếu tổng S chia hết cho 9, ta đã chứng minh xong.

Nếu tổng S không chia hết cho 9, thì theo nguyên lý của phép chia dư, tổng S sẽ chia thành 9 nhóm dư khác nhau từ 0 đến 8.

Điều này có nghĩa là có ít nhất 2 số trong dãy 9 số ban đầu có cùng dư khi chia cho 9.

Khi cộng 2 số có cùng dư cho 9, ta sẽ thu được một số chia hết cho 9.

Vậy nên, ta đã chứng minh được rằng trong dãy 9 số tự nhiên bất kì, thì luôn có ít nhất 1 số hoặc tổng một số số trong dãy đó chia hết cho 9.