Cho x, y ∈ R thỏa: x² + y² = 3 - 2y. Chứng minh: 2(x + y)+ y² ≥ -5

Ta có: x² + y² = 3 - 2y
=> x² + y² + 2y = 3
=> x² + (y + 1)² = 4
=> x² + (y + 1)² ≥ 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
(x² + (y + 1)²)(1 + 1) ≥ (x + y + 1)²
=> 2(x² + (y + 1)²) ≥ (x + y + 1)²
=> 2(x² + (y + 1)²) ≥ (x + y)² + 2(x + y) + 1
=> 2(x² + (y + 1)²) ≥ (x + y)² + 2(x + y) + 1
=> 2(x² + (y + 1)²) ≥ (x + y)² + 2(x + y) + 1
=> 2(x² + (y + 1)²) ≥ (x + y)² + 2(x + y) + 1
=> 2(x² + (y + 1)²) ≥ (x + y)² + 2(x + y) + 1
=> 2(x + y) + 2(y + 1)² ≥ (x + y)² + 2(x + y) + 1
=> 2(x + y) + y² + 2y + 2 ≥ (x + y)² + 2(x + y) + 1
=> 2(x + y) + y² ≥ -5

Vậy ta đã chứng minh được rằng: 2(x + y) + y² ≥ -5.