Để chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên, ta sử dụng phương pháp giả sử ngược.
Giả sử đa thức f(x) có một nghiệm nguyên k, tức là f(k) = 0.
Khi đó, ta có f(1).f(2) = 69 = f(1).f(2) = f(1).f(2) - f(1).f(k) = f(1)(f(2) - f(k)) = f(1)(2 - k) = 69.
Do f(1) là một số nguyên, f(1) phải chia hết cho 69 hoặc (2 - k) phải chia hết cho 69.
Nhưng vì 2 - k không thể chia hết cho 69 (vì k là một nghiệm nguyên), nên f(1) phải chia hết cho 69.
Tuy nhiên, với f(1) chia hết cho 69, ta có thể viết f(1) = 69m, với m là một số nguyên.
Vậy ta có f(1) = 69m = f(2) = 69.
Điều này dẫn đến m = 1, vậy f(1) = 69 và f(2) = 69.
Tuy nhiên, nếu f(1) = 69 và f(2) = 69, thì f(x) không thể là một đa thức, mà chỉ là một hằng số.
Do đó, giả sử ban đầu là sai, đa thức f(x) không thể có nghiệm nguyên.