• Xét tứ giác AEFD, ta có:
  • AEF=90∘ (góc nội tiếp chắn cung AF).
  • ADF=90∘ (góc nội tiếp chắn cung AD).
• Do đó AEF+ADF=180∘, nên tứ giác AEFD nội tiếp (tứ giác có hai góc đối diện bằng nhau cộng lại bằng 180 độ thì nội tiếp).

b) Chứng minh AB² = 2AE . AF.

Giải:

• Xét △AEF và △ADB, ta có:

  • AEF=ADB (cùng là góc nội tiếp chắn cung AF).
  • A chung.

• Vậy △AEF∼△ADB (g - g).

• Do đó ADAE​=ABAF​⇒AE.AB=AF.AD.

• Xét △AED và △AHB, ta có:

  • AED=AHB (cùng là góc nội tiếp chắn cung AB).
  • A chung.

• Vậy △AED∼△AHB (g - g).

• Do đó AHAE​=ABAD​⇒AE.AB=AD.AH.

• Từ hai kết quả trên, ta suy ra AE.AB=AF.AD=AH.AD.

• Vậy AB2=2AE.AF.

c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Chứng minh DE = 2R.

Giải:

• Do tứ giác AEFD nội tiếp nên OEF=ADF (góc nội tiếp cùng chắn cung AF).

• Do tam giác AEF vuông tại A nên OEF+AEF=90∘.

• Do đó AEF=ADF.

• Tương tự, ta có ADE=AED.

• Xét △AEF và △OEF, ta có:

  • AEF=OEF (chứng minh trên).
  • A chung.

• Vậy △AEF∼△OEF (g - g).

• Do đó OEAE​=OFAF​.

• Xét △AED và △OED, ta có:

  • ADE=OED (chứng minh trên).
  • A chung.

• Vậy △AED∼△OED (g - g).

• Do đó OEAE​=ODAD​.

• Từ hai kết quả trên, ta suy ra OFAF​=ODAD​.

• Do đó AF.OD=AD.OF.

• Xét △AEF và △AOF, ta có:

  • AEF=AOF (cùng là góc nội tiếp chắn cung AF).
  • A chung.

• Vậy △AEF∼△AOF (g - g).

• Do đó AOAE​=AFAF​=1.

• Vậy AE=AO.

• Xét △AED và △AOD, ta có:

  • ADE=AOD (cùng là góc nội tiếp chắn cung AD).
  • A chung.

• Vậy △AED∼△AOD (g - g).