1. Để chứng minh rằng bốn điểm A, H, C, M cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tổng góc giữa hai dây cắt nhau bằng tổng hai góc còn lại.

Gọi \( \alpha \) là góc giữa dây AC và dây AB. Vì \( AB > BC > CA \), ta có \( \alpha < 90^\circ \).

Gọi \( \beta \) là góc giữa dây AC và dây BC. Vì tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), ta có \( \beta < 90^\circ \).

Gọi \( \gamma \) là góc giữa dây AH và dây AB. Vì H là trực tâm của tam giác ABC, ta có \( \gamma = 90^\circ - A < 90^\circ \).

Gọi \( \delta \) là góc giữa dây AH và dây BC. Vì H là trực tâm của tam giác ABC, ta có \( \delta = 90^\circ - B < 90^\circ \).

Vì vậy, tổng góc giữa hai dây cắt nhau bằng tổng hai góc còn lại:

\( 2\alpha + 2\beta = (\alpha +...