Giải:

1. Ta có:
- Góc BNC = 90° (do BN là đường cao của tam giác ABC)
- Góc BMC = 90° (do CM là đường cao của tam giác ABC)
- Vậy tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nên bốn điểm B, M, N, C cùng thuộc một đường tròn.

2. Ta có:
- Góc BNC = 90° (do BN là đường cao của tam giác ABC)
- Góc MCN = 90° (do CM là đường cao của tam giác ABC)
- Vậy tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- Kẻ NK vuông góc với MN tại K, ta có góc MNK = 90°.
- Do đó, NK song song với đường chéo AC của tứ giác BMNC (do tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp), nên NK // AO.

3. Ta có:
- Góc DHN = góc CKN (do DH // CK và DN // CN)
- Góc DNH = góc CNK (do DH // CK và DN // CN)
- Vậy hai tam giác DHN và CKN đồng dạng, nên hat DHN = hat CKN.
- Ta có: BN . CM = 2S(ABC) = BM . CN + MN . BC (do BN = 2S(ABC) / AC, CM = 2S(ABC) / AB, BM = S(ABC) / AC, CN = S(ABC) / AB, MN = S(ABC) / BC)