Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1

Ta có công thức diện tích tam giác ABC:
S = 1/2 * AB * AC * sin(A)
Với M là một điểm bất kỳ trong tam giác ABC, ta có:
MA = x, MB = y, MC = z
Áp dụng định lý cosin trong tam giác MAB, MAC, MBC ta có:
cos(A) = (x^2 + y^2 - AB^2) / (2xy)
cos(B) = (y^2 + z^2 - BC^2) / (2yz)
cos(C) = (z^2 + x^2 - AC^2) / (2zx)
Áp dụng công thức diện tích tam giác ABC ta có:
1 = 1/2 * AB * AC * sin(A)
=> sin(A) = 2 / (AB * AC)
Thay vào công thức cos(A), cos(B), cos(C) ta được:
cos(A) = (x^2 + y^2 - AB^2) / (2xy) = (x^2 + y^2 - AB^2) / (2xy)
cos(B) = (y^2 + z^2 - BC^2) / (2yz) = (y^2 + z^2 - BC^2) / (2yz)
cos(C) = (z^2 + x^2 - AC^2) / (2zx) = (z^2 + x^2 - AC^2) / (2zx)
Nhân cả 3 công thức trên với x, y, z ta được:
x * cos(A) = (x^2 + y^2 - AB^2) / 2y
y * cos(B) = (y^2 + z^2 - BC^2) / 2z
z * cos(C) = (z^2 + x^2 - AC^2) / 2x
Cộng 3 công thức trên lại ta được:
x * cos(A) + y * cos(B) + z * cos(C) = (x^2 + y^2 - AB^2) / 2y + (y^2 + z^2 - BC^2) / 2z + (z^2 + x^2 - AC^2) / 2x
= (x^2 + y^2 + z^2 - AB^2 - BC^2 - AC^2) / 2(xy + yz + zx)
= (MA^2 + MB^2 + MC^2 - AB^2 - BC^2 - AC^2) / 2S
= (MA^2 + MB^2 + MC^2 - 2S) / 2S
= (MA^2 + MB^2 + MC^2 - 2) / 2
Do đó, ta có:
MA * BC + MB * AC + MC * AB = x * BC + y * AC + z * AB
= x * cos(A) + y * cos(B) + z * cos(C)
>= 2
Vậy ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.