1. Tìm GTNN, GTLN của

F = x^2 + 2x + 2 / x^2 + 2x + 3

Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức F, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của tử số và mẫu số.

Tìm GTNN, GTLN của tử số:
Đạo hàm của tử số F theo x:
F'(x) = (2x + 2)(x^2 + 2x + 3) - (x^2 + 2x + 2)(2) / (x^2 + 2x + 3)^2
= 2x^2 + 4x + 6 - 2x^2 - 4x - 4 / (x^2 + 2x + 3)^2
= 2 / (x^2 + 2x + 3)^2

Đạo hàm bậc 2 của tử số F:
F''(x) = -4(x^2 + 2x + 3) / (x^2 + 2x + 3)^3
= -4 / (x^2 + 2x + 3)^2

Đạo hàm bậc 2 luôn âm nên F có cực tiểu tại x = -1.

Tìm GTNN, GTLN của mẫu số:
Mẫu số không có ảnh hưởng đến giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của F.

Vậy GTNN của F là khi x = -1, ta có F = (-1)^2 + 2(-1) + 2 / (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 2 / 1 - 2 + 3 = 1 / 2 = 0.5

GTNN của F là 0.5.

G = x^2 - 2xy - 2y^2 + 2x - 2y - 15

Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức G, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức theo x và y.

Đạo hàm của G theo x:
∂G/∂x = 2x - 2y + 2

Đạo hàm của G theo y:
∂G/∂y = -2x - 4y - 2

Để tìm cực trị, giải hệ phương trình ∂G/∂x = 0 và ∂G/∂y = 0:
2x - 2y + 2 = 0
-2x - 4y - 2 = 0

Giải hệ phương trình ta được x = -1 và y = -2.

Vậy GTNN của G là khi x = -1, y = -2, ta có G = (-1)^2 - 2(-1)(-2) - 2(-2)^2 + 2(-1) - 2(-2) - 15 = 1 - 4 - 8 - 2 + 4 - 30 = -39

GTNN của G là -39.

K = x^2 / (x^2 - 5x + 7)

Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức K, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của tử số và mẫu số.

Tìm GTNN, GTLN của tử số:
Tử số không ảnh hưởng đến giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của K.

Tìm GTNN, GTLN của mẫu số:
Đạo hàm của mẫu số K theo x:
K'(x) = 2x(x^2 - 5x + 7) - x^2(2x - 5) / (x^2 - 5x + 7)^2
= 2x^3 - 10x^2 + 14x - 2x^3 + 5x^2 / (x^2 - 5x + 7)^2
= -5x^2 + 19x / (x^2 - 5x + 7)^2

Đạo hàm bậc 2 của mẫu số K:
K''(x) = (-10x + 19)(x^2 - 5x + 7) - (-5x^2 + 19x)(2x - 5) / (x^2 - 5x + 7)^3
= -10x^3 + 50x^2 - 70x + 19x^2 - 95x + 133 + 10x^3 - 25x^2 / (x^2 - 5x + 7)^3
= 44x^2 - 165x + 133 / (x^2 - 5x + 7)^3

Đạo hàm bậc 2 không đổi dấu nên K không có cực trị.

Vậy GTNN của K là khi x tiến đến vô cùng, ta có K = ∞

GTLN của K là khi x = 0, ta có K = 0^2 / (0^2 - 5*0 + 7) = 0 / 7 = 0

GTNN của K là ∞ và GTLN của K là 0.