Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 3 x DB

Gọi \(S_{ADE}\) là diện tích tam giác ADE. Ta có:

\(\dfrac{AD}{DB} = 3 \Rightarrow \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{3}{4}\)

\(\dfrac{AE}{EC} = 4 \Rightarrow \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{4}{5}\)

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác ABC ta có:

\(\dfrac{AD}{DB} \cdot \dfrac{BH}{HC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1\)

\(\Rightarrow \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{BH}{HC} \cdot \dfrac{5}{4} = 1\)

\(\Rightarrow \dfrac{BH}{HC} = \dfrac{16}{15}\)

Áp dụng công thức diện tích tam giác, ta có:

\(S_{ABE} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AE \cdot \sin{\angle BAE} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AE \cdot \sin{\angle BAC}\)

\(S_{ACD} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin{\angle CAD} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin{\angle CAB}\)

Vì \(\angle BAC + \angle CAB = 180^\circ\), nên \(\sin{\angle BAC} = \sin{\angle CAD}\)

Do đó, \(S_{ABE} = S_{ACD} = 31\) cm\(^2\)

Từ đó, ta tính được diện tích tam giác ADE:

\(S_{ADE} = S_{ABC} - S_{ABE} - S_{ACD} = 62 - 31 - 31 = 0\) cm\(^2\)

Vậy diện tích tam giác ADE là 0 cm\(^2\).