Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I có trọng tâm G(2/3; 4/3). Gọi E(1; 1), F(8/5; -4/5) lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C lên AI. Tìm tọa độ điểm A

Để tìm tọa độ điểm A, ta cần xác định tọa độ của điểm I trước.

Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I nên ta có:
- Tọa độ trọng tâm G là trung điểm của các đỉnh của tam giác ABC, nên ta có:
\(G(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}) = \frac{A + B + C}{3}\)
\(A + B + C = 3G = (2, 4)\)

- Tọa độ hình chiếu vuông góc của B lên AI là E, nên ta có:
\(\overrightarrow{BE} = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AI}}{\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AI}} \cdot \overrightarrow{AI}\)
\(BE = \frac{BA \cdot AI}{AI^2} \cdot AI\)
\(BE = \frac{BA \cdot AI}{AI}\)
\(BE = BA\)
\(E = A + BA\)
\(E = A + \frac{AI}{AI} \cdot (I - A)\)
\(E = A + \frac{AI}{AI} \cdot I - \frac{AI}{AI} \cdot A\)
\(E = A + I - A\)
\(E = I\)

Tương tự, ta cũng có \(F = I\)

Do đó, tọa độ của điểm I chính là tọa độ của điểm E và F, tức là \(I(1, 1)\)

Vậy tọa độ của điểm A là:
\(A = 3G - B - C\)
\(A = 3(2, 4) - (1, 1) - (8/5, -4/5)\)
\(A = (6, 12) - (1, 1) - (8/5, -4/5)\)
\(A = (6 - 1 - 8/5, 12 - 1 + 4/5)\)
\(A = (6 - 5 - 8/5, 12 - 1 + 4/5)\)
\(A = (1 - 8/5, 11 + 4/5)\)
\(A = (5/5 - 8/5, 55/5 + 4/5)\)
\(A = (-3/5, 59/5)\)

Vậy tọa độ của điểm A là \((-3/5, 59/5)\)