Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N = a + b khi a^3 + b^3 = 2, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân).

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:
(a^3 + b^3)/2 ≥ ∛(a^3 * b^3)
2/2 ≥ ∛(a^3 * b^3)
1 ≥ ∛(a^3 * b^3)
1 ≥ ab

Vậy ta có:
a + b = a + (2 - a^3) = 2 - a^3 + a = 2 - (a^3 - a) = 2 - b^3

Đặt f(a) = 2 - a^3 + a
f'(a) = -3a^2 + 1

Để tìm giá trị lớn nhất của f(a), ta giải phương trình f'(a) = 0:
-3a^2 + 1 = 0
a^2 = 1/3
a = ±√(1/3)

Vì a và b là hai số thực, nên ta chọn a = √(1/3) và b = √(1/3).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N = a + b là:
N = √(1/3) + √(1/3) = 2√(1/3) = 2/√3 = 2√3/3.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là 2√3/3.