Để tìm điểm cắt của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình:

\(\begin{cases} y = x + 2m \\ y = 3x - m + 1 \end{cases}\)

Thay \(y = x + 2m\) vào phương trình thứ hai, ta được:

\(x + 2m = 3x - m + 1\)

\(2m + m = 3x - x + 1\)

\(3m = 2x + 1\)

\(x = \dfrac{3m - 1}{2}\)

Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung, ta cần tìm điểm cắt có hoành độ \(x\) và tung độ \(0\).

Thay \(y = 0\) vào phương trình đường thẳng \(y = x + 2m\), ta được:

\(0 = x + 2m\)

\(x = -2m\)

Thay \(x = -2m\) vào phương trình \(x = \dfrac{3m - 1}{2}\), ta được:

\(-2m = \dfrac{3m - 1}{2}\)

\(-4m = 3m - 1\)

\(7m = 1\)

\(m = \dfrac{1}{7}\)

Vậy điểm cắt của hai đường thẳng trên trục tung là \(m = \dfrac{1}{7}\).