Để tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của các biểu thức chứa căn bậc hai, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn phải không âm (≥ 0). Dưới đây là các bước giải cho từng bài:

### a) \(\sqrt{(5-x)^2}\) với \(x > 7\)

Biểu thức dưới dấu căn là \((5-x)^2\). Vì bình phương của một số luôn không âm, nên \((5-x)^2 \geq 0\) luôn đúng với mọi \(x\). Tuy nhiên, điều kiện cho trước là \(x > 7\).

**ĐKXĐ:** \(x > 7\)

### b) \(\sqrt{4x^2 - 4x + 1}\) với \(x \leq \frac{1}{2}\)

Biểu thức dưới dấu căn là \(4x^2 - 4x + 1\). Ta cần kiểm tra xem biểu thức này có không âm với \(x \leq \frac{1}{2}\).

Ta có:
\[ 4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2 \]

Vì \((2x - 1)^2\) là bình phương của một số, nên nó luôn không âm với mọi \(x\).

**ĐKXĐ:** \(x \leq \frac{1}{2}\)

### c) \(\sqrt{(x+10)^2}\) với \(x < -11\)

Biểu thức dưới dấu căn là \((x+10)^2\). Vì bình phương của một số luôn không âm, nên \((x+10)^2 \geq 0\) luôn đúng với mọi \(x\). Tuy nhiên, điều kiện cho trước là \(x < -11\).

**ĐKXĐ:** \(x < -11\)

### d) \(4\sqrt{x^2 - 2x + 1}\) với \(x < 0\)

Biểu thức dưới dấu căn là \(x^2 - 2x + 1\). Ta cần kiểm tra xem biểu thức này có không âm với \(x < 0\).

Ta có:
\[ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \]

Vì \((x - 1)^2\) là bình phương của một số, nên nó luôn không âm với mọi \(x\).

**ĐKXĐ:** \(x < 0\)

### e) \(\sqrt{x^2 - 2x + 1}\) với \(x < 1\)

Biểu thức dưới dấu căn là \(x^2 - 2x + 1\). Ta cần kiểm tra xem biểu thức này có không âm với \(x < 1\).

Ta có:
\[ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \]

Vì \((x - 1)^2\) là bình phương của một số, nên nó luôn không âm với mọi \(x\).

**ĐKXĐ:** \(x < 1\)

### f) \(\sqrt{9x^2 + 6x + 1}\) với \(x > 0\)

Biểu thức dưới dấu căn là \(9x^2 + 6x + 1\). Ta cần kiểm tra xem biểu thức này có không âm với \(x > 0\).

Ta có:
\[ 9x^2 + 6x + 1 = (3x + 1)^2 \]

Vì \((3x + 1)^2\) là bình phương của một số, nên nó luôn không âm với mọi \(x\).

**ĐKXĐ:** \(x > 0\)

Tóm lại, điều kiện xác định của các biểu thức là:

a) \(x > 7\)

b) \(x \leq \frac{1}{2}\)

c) \(x < -11\)

d) \(x < 0\)

e) \(x < 1\)

f) \(x > 0\)