Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{xz^2}{y(y^2 + z^2)} + \frac{yx^2}{z(z^2 + x^2)} + \frac{zy^2}{x(x^2 + y^2)}\) với điều kiện \(xy^2 + yz^2 + zx^2 = 3xyz\),  sử dụng bất đẳng thức và các kỹ thuật biến đổi đại số.
  điều kiện \(xy^2 + yz^2 + zx^2 = 3xyz\)  được viết lại dưới dạng:
\[\frac{xy^2}{xyz} + \frac{yz^2}{xyz} + \frac{zx^2}{xyz} = 3\]
 xét biểu thức \(P\):
\[P = \frac{xz^2}{y(y^2 + z^2)} + \frac{yx^2}{z(z^2 + x^2)} + \frac{zy^2}{x(x^2 + y^2)}.\]
Ta chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 1 bằng cách sử dụng bất đẳng thức AM-GM (tbc)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho từng phân số trong \(P\):
\[\frac{xz^2}{y(y^2 + z^2)} \geq \frac{xz^2}{2yz^2} = \frac{x}{2y},\]
\[\frac{yx^2}{z(z^2 + x^2)} \geq \frac{yx^2}{2zx^2} = \frac{y}{2z},\]
\[\frac{zy^2}{x(x^2 + y^2)} \geq \frac{zy^2}{2xy^2} = \frac{z}{2x}.\]
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có:
\[P \geq \frac{x}{2y} + \frac{y}{2z} + \frac{z}{2x}.\]
Sử dụng điều kiện \(\frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{x}{y} = 3\),
ta có:
\[\frac{x}{2y} + \frac{y}{2z} + \frac{z}{2x} \geq \frac{1}{2} \left( \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{x}{y} \right) = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}.\]
Tuy nhiên, để đạt được giá trị nhỏ nhất của \(P\), ta cần kiểm tra trường hợp đặc biệt khi \(x = y = z\). Khi đó, điều kiện \(xy^2 + yz^2 + zx^2 = 3xyz\) trở thành \(x^3 = 3x^3\), điều này chỉ đúng khi \(x = y = z\)
Khi \(x = y = z\), ta có:
\[P = \frac{xz^2}{y(y^2 + z^2)} + \frac{yx^2}{z(z^2 + x^2)} + \frac{zy^2}{x(x^2 + y^2)} = \frac{x^3}{x(2x^2)} + \frac{x^3}{x(2x^2)} + \frac{x^3}{x(2x^2)} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.\]
Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\boxed{1}\).