Để chứng minh rằng đường thẳng \((d): (m + 2)x + y + 4m - 3 = 0\) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của \(m\), ta cần tìm điểm mà tọa độ của nó không phụ thuộc vào \(m\).

Giả sử điểm cố định đó có tọa độ \((x_0, y_0)\). Điều này có nghĩa là với mọi giá trị của \(m\), tọa độ \((x_0, y_0)\) phải thỏa mãn phương trình của đường thẳng \((d)\).

Thay \((x_0, y_0)\) vào phương trình của đường thẳng \((d)\), ta có:
\[
(m + 2)x_0 + y_0 + 4m - 3 = 0
\]

Ta cần phương trình này đúng với mọi giá trị của \(m\). Để điều này xảy ra, các hệ số của \(m\) và các hằng số phải bằng 0. Ta phân tích phương trình trên theo \(m\):

\[
(m + 2)x_0 + y_0 + 4m - 3 = 0
\]

Tách riêng các hệ số của \(m\) và các hằng số, ta có:
\[
mx_0 + 2x_0 + y_0 + 4m - 3 = 0
\]

Gom các hệ số của \(m\) lại:
\[
m(x_0 + 4) + (2x_0 + y_0 - 3) = 0
\]

Để phương trình này đúng với mọi giá trị của \(m\), ta cần:
1. Hệ số của \(m\) phải bằng 0:
\[
x_0 + 4 = 0 \implies x_0 = -4
\]

2. Hằng số phải bằng 0:
\[
2x_0 + y_0 - 3 = 0
\]

Thay \(x_0 = -4\) vào phương trình trên:
\[
2(-4) + y_0 - 3 = 0 \implies -8 + y_0 - 3 = 0 \implies y_0 = 11
\]

Vậy tọa độ của điểm cố định là \((-4, 11)\).

Do đó, ta đã chứng minh rằng đường thẳng \((d): (m + 2)x + y + 4m - 3 = 0\) luôn đi qua điểm cố định \((-4, 11)\) với mọi giá trị của \(m\).