Hàm số u = 2x-1+8/(x-1) đồng biến trên khoảng nào

Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( u = 2x - 1 + \frac{8}{x - 1} \), ta cần tính đạo hàm của hàm số này và xem xét dấu của đạo hàm.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( u \).

\[ u = 2x - 1 + \frac{8}{x - 1} \]

Đạo hàm của \( u \) là:

\[ u' = \frac{d}{dx}(2x - 1) + \frac{d}{dx}\left(\frac{8}{x - 1}\right) \]

\[ u' = 2 + \frac{d}{dx}\left(\frac{8}{x - 1}\right) \]

Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm phân số:

\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{8}{x - 1}\right) = 8 \cdot \frac{d}{dx}\left((x - 1)^{-1}\right) = 8 \cdot (-1) \cdot (x - 1)^{-2} = -\frac{8}{(x - 1)^2} \]

Do đó:

\[ u' = 2 - \frac{8}{(x - 1)^2} \]

Bước 2: Xét dấu của \( u' \).

Hàm số \( u \) đồng biến khi \( u' \geq 0 \):

\[ 2 - \frac{8}{(x - 1)^2} \geq 0 \]

\[ 2 \geq \frac{8}{(x - 1)^2} \]

\[ 2(x - 1)^2 \geq 8 \]

\[ (x - 1)^2 \geq 4 \]

\[ |x - 1| \geq 2 \]

Điều này có nghĩa là:

\[ x - 1 \leq -2 \quad \text{hoặc} \quad x - 1 \geq 2 \]

\[ x \leq -1 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 3 \]

Do đó, hàm số \( u = 2x - 1 + \frac{8}{x - 1} \) đồng biến trên các khoảng:

\[ (-\infty, -1] \cup [3, \infty) \]