Cho tam giác \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \). Vẽ đường tròn \((O)\) đường kính \( AH \), đường tròn này cắt \( AB \), \( AC \) lần lượt tại \( D \), \( E \).

### a) Chứng minh tứ giác \( ADHE \) là hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác \( ADHE \) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng nó có bốn góc vuông.

1. **Góc \( \angle ADH \) và \( \angle AEH \)**:
- Vì \( (O) \) là đường tròn đường kính \( AH \), nên \( \angle ADH \) và \( \angle AEH \) là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó \( \angle ADH = \angle AEH = 90^\circ \).

2. **Góc \( \angle DHA \) và \( \angle EHA \)**:
- \( \angle DHA \) và \( \angle EHA \) là các góc đối đỉnh với \( \angle ADH \) và \( \angle AEH \), nên \( \angle DHA = \angle EHA = 90^\circ \).

Vì \( \angle ADH = \angle AEH = \angle DHA = \angle EHA = 90^\circ \), tứ giác \( ADHE \) có bốn góc vuông, do đó \( ADHE \) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \) và tứ giác \( BDEC \) nội tiếp

1. **Chứng minh \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \)**:
- Xét tam giác \( \Delta ABD \) và \( \Delta AEC \):
- \( \angle ADH = \angle AEH = 90^\circ \).
- \( \angle BAD = \angle CAE \) (cùng là góc tại đỉnh \( A \)).
- Do đó, hai tam giác \( \Delta ABD \) và \( \Delta AEC \) đồng dạng với nhau theo trường hợp góc-góc (AA).
- Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC}
\]
- Suy ra:
\[
AD \cdot AC = AE \cdot AB
\]

2. **Chứng minh tứ giác \( BDEC \) nội tiếp**:
- Để chứng minh tứ giác \( BDEC \) nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng hai góc đối của tứ giác bằng \( 180^\circ \).
- Xét góc \( \angle BDE \) và \( \angle BCE \):
- \( \angle BDE = \angle BDA + \angle ADE \).
- \( \angle BCE = \angle BCA + \angle ACE \).
- Ta có:
\[
\angle BDA = 90^\circ - \angle BAD \quad \text{và} \quad \angle ACE = 90^\circ - \angle CAE
\]
- Do đó:
\[
\angle BDE = (90^\circ - \angle BAD) + \angle ADE \quad \text{và} \quad \angle BCE = \angle BCA + (90^\circ - \angle CAE)
\]
- Tổng hai góc này là:
\[
\angle BDE + \angle BCE = (90^\circ - \angle BAD) + \angle ADE + \angle BCA + (90^\circ - \angle CAE)
\]
- Vì \( \angle ADE = \angle CAE \) và \( \angle BCA = \angle BAD \), ta có:
\[
\angle BDE + \angle BCE = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]
- Do đó, tứ giác \( BDEC \) nội tiếp.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \) và tứ giác \( BDEC \) nội tiếp.