Để giải bài toán này theo cách lớp 5, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức cơ bản về hình học và tỉ số diện tích tam giác.

### Phần a: Tính diện tích hình thang ABCD

1. **Thông tin đã biết:**
- AB = 1/3 CD
- DM = 1/2 MC
- Diện tích tam giác BMC = 9 cm²

2. **Tính chiều dài CD:**
- Gọi CD = x, AB = 1/3 x
- DM = 1/2 MC => DM = 1/3 CD và MC = 2/3 CD

3. **Tính diện tích tam giác BMD và tam giác BMC:**
- Vì DM = 1/2 MC, nên diện tích tam giác BMD sẽ bằng 1/2 diện tích tam giác BMC.
- Diện tích tam giác BMD = 1/2 * 9 cm² = 4.5 cm²

4. **Tính diện tích tam giác BDC:**
- Diện tích tam giác BDC = Diện tích tam giác BMD + Diện tích tam giác BMC
- Diện tích tam giác BDC = 4.5 cm² + 9 cm² = 13.5 cm²

5. **Tính diện tích hình thang ABCD:**
- Hình thang ABCD có đáy AB và CD, chiều cao h.
- Diện tích tam giác BDC = 1/2 * CD * h = 13.5 cm²
- Diện tích hình thang ABCD = 1/2 * (AB + CD) * h
- Thay AB = 1/3 CD vào công thức:
\[
\text{Diện tích hình thang ABCD} = 1/2 * (1/3 CD + CD) * h = 1/2 * (4/3 CD) * h = 2/3 * CD * h
\]
- Vì 1/2 * CD * h = 13.5 cm², nên CD * h = 27 cm²
- Do đó, diện tích hình thang ABCD = 2/3 * 27 cm² = 18 cm²

### Phần b: Tính tỉ số diện tích tam giác BIC với tam giác DIC

1. **Xét tam giác BMC và điểm I:**
- BM cắt AC tại I.

2. **Tỉ số diện tích tam giác BIC và DIC:**
- Vì BM cắt AC tại I, nên I là điểm chung của hai tam giác BIC và DIC.
- Tam giác BMC có diện tích 9 cm² và được chia thành hai tam giác BIC và DIC bởi đường BM.
- Tỉ số diện tích tam giác BIC và DIC phụ thuộc vào vị trí của điểm I trên AC.

3. **Xét tỉ số diện tích:**
- Do DM = 1/2 MC, điểm M chia CD thành hai đoạn DM và MC với tỉ lệ 1:2.
- Tương tự, điểm I chia AC thành hai đoạn với tỉ lệ tương ứng.
- Vì tam giác BMC có diện tích 9 cm² và điểm M chia CD theo tỉ lệ 1:2, nên diện tích tam giác BIC và DIC cũng chia theo tỉ lệ này.

4. **Kết luận:**
- Tỉ số diện tích tam giác BIC và DIC là 1:2.

Vậy, diện tích hình thang ABCD là 18 cm² và tỉ số diện tích tam giác BIC với tam giác DIC là 1:2.