Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{1}{abc} \) với \( abc > 0 \) và \( a^2 + b^2 + c^2 = \frac{5}{3} \), ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi đại số.

Trước hết, ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân) để tìm một số mối quan hệ giữa các biến số.

1. **Bất đẳng thức AM-GM:**
\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq 3 \sqrt[3]{a^2 b^2 c^2}
\]
Với \( a^2 + b^2 + c^2 = \frac{5}{3} \), ta có:
\[
\frac{5}{3} \geq 3 \sqrt[3]{a^2 b^2 c^2}
\]
Suy ra:
\[
\sqrt[3]{a^2 b^2 c^2} \leq \frac{5}{9}
\]
Do đó:
\[
a^2 b^2 c^2 \leq \left(\frac{5}{9}\right)^3 = \frac{125}{729}
\]

2. **Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh:**
Ta cần chứng minh:
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{1}{abc}
\]
Điều này tương đương với:
\[
ab + bc + ca < 1
\]

3. **Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:**
\[
(a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a + b + c)^2
\]
Với \( a^2 + b^2 + c^2 = \frac{5}{3} \) và \( 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3 \), ta có:
\[
\left(\frac{5}{3}\right) \cdot 3 \geq (a + b + c)^2
\]
Suy ra:
\[
5 \geq (a + b + c)^2
\]
Do đó:
\[
a + b + c \leq \sqrt{5}
\]

4. **Sử dụng bất đẳng thức AM-HM (trung bình cộng - trung bình điều hòa):**
\[
\frac{a + b + c}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}
\]
Suy ra:
\[
\frac{a + b + c}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}
\]
Do đó:
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}
\]

5. **Kết hợp các kết quả:**
Từ các bước trên, ta có:
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}
\]
Với \( a + b + c \leq \sqrt{5} \), ta có:
\[
\frac{9}{a + b + c} \geq \frac{9}{\sqrt{5}}
\]
Do đó:
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{\sqrt{5}}
\]

6. **So sánh với \( \frac{1}{abc} \):**
Ta đã có \( abc \leq \sqrt[3]{\frac{125}{729}} = \frac{5}{9} \), do đó:
\[
\frac{1}{abc} \geq \frac{9}{5}
\]

7. **Kết luận:**
Ta cần chứng minh:
\[
\frac{9}{\sqrt{5}} < \frac{9}{5}
\]
Điều này đúng vì \( \sqrt{5} > 2 \), do đó \( \frac{9}{\sqrt{5}} < \frac{9}{5} \).

Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{1}{abc}
\]
với \( abc > 0 \) và \( a^2 + b^2 + c^2 = \frac{5}{3} \).