Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{a+c} + \frac{c^3}{a+b} \geq \frac{1}{2} \) với \( a > b > c > 0 \) và \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \), ta có thể sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các kỹ thuật bất đẳng thức.

Trước hết, ta xét bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân):

\[ \frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{a+c} + \frac{c^3}{a+b} \geq \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{a(b+c) + b(a+c) + c(a+b)} \]

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này bằng cách sử dụng điều kiện \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \).

Trước hết, ta tính mẫu số của biểu thức trên:

\[ a(b+c) + b(a+c) + c(a+b) = ab + ac + ba + bc + ca + cb = 2(ab + bc + ca) \]

Do đó, bất đẳng thức trở thành:

\[ \frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{a+c} + \frac{c^3}{a+b} \geq \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{2(ab + bc + ca)} \]

Vì \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \), ta có:

\[ \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{2(ab + bc + ca)} = \frac{1}{2(ab + bc + ca)} \]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng:

\[ \frac{1}{2(ab + bc + ca)} \geq \frac{1}{2} \]

Tức là:

\[ ab + bc + ca \leq \frac{1}{2} \]

Ta biết rằng:

\[ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \]

Vì \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \), ta có:

\[ (a+b+c)^2 = 1 + 2(ab + bc + ca) \]

Do đó:

\[ 1 + 2(ab + bc + ca) \leq (a+b+c)^2 \]

Vì \( a, b, c > 0 \) và \( a > b > c \), ta có \( a+b+c \leq \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)} = \sqrt{3} \).

Do đó:

\[ 1 + 2(ab + bc + ca) \leq 3 \]

Suy ra:

\[ 2(ab + bc + ca) \leq 2 \]

Và:

\[ ab + bc + ca \leq 1 \]

Như vậy, ta có:

\[ \frac{1}{2(ab + bc + ca)} \geq \frac{1}{2} \]

Do đó, bất đẳng thức ban đầu được chứng minh:

\[ \frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{a+c} + \frac{c^3}{a+b} \geq \frac{1}{2} \]

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức yêu cầu.