Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

### Phần a: Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp một đường tròn

1. **Vẽ hình**:
- Vẽ đoạn thẳng \( AB \) và điểm \( C \) nằm trên đoạn \( AB \) ( \( C \neq A \) và \( C \neq B \) ).
- Kẻ tia \( Ax \) và \( By \) vuông góc với \( AB \).
- Chọn điểm \( I \neq A \) trên tia \( Ax \).
- Kẻ đường thẳng vuông góc với \( CI \) tại \( C \) cắt \( By \) tại \( K \).
- Vẽ đường tròn đường kính \( CI \), đường tròn này cắt \( IK \) tại \( P \).

2. **Chứng minh**:
- Để chứng minh tứ giác \( CPKB \) nội tiếp một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tổng các góc đối của tứ giác bằng \( 180^\circ \).
- Xét tam giác \( CIK \):
- \( \angle ICK = 90^\circ \) (do \( CK \) vuông góc với \( CI \)).
- \( \angle ICP = 90^\circ \) (do \( P \) nằm trên đường tròn đường kính \( CI \)).
- Do đó, \( \angle ICP + \angle ICK = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).
- Từ đó, ta có \( \angle ICP + \angle BKC = 180^\circ \), suy ra tứ giác \( CPKB \) nội tiếp một đường tròn.

### Phần b: Chứng minh tam giác \( \Delta APB \) vuông

1. **Chứng minh**:
- Xét tam giác \( \Delta ACI \):
- \( \angle AIC = 90^\circ \) (do \( I \) nằm trên tia \( Ax \) vuông góc với \( AB \)).
- Xét tam giác \( \Delta BCK \):
- \( \angle BKC = 90^\circ \) (do \( K \) nằm trên tia \( By \) vuông góc với \( AB \)).
- Do đó, \( \angle AIC + \angle BKC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).
- Suy ra, tam giác \( \Delta APB \) vuông tại \( P \).

### Phần c: Xác định vị trí của điểm \( C \) trên \( AB \) sao cho tứ giác \( ABIK \) có diện tích lớn nhất

1. **Phân tích**:
- Diện tích của tứ giác \( ABIK \) phụ thuộc vào vị trí của điểm \( C \) trên đoạn \( AB \).
- Để diện tích của tứ giác \( ABIK \) lớn nhất, ta cần tối ưu hóa vị trí của \( C \).

2. **Giải quyết**:
- Xét diện tích của tứ giác \( ABIK \):
- Diện tích của tứ giác \( ABIK \) là tổng diện tích của hai tam giác \( \Delta ACI \) và \( \Delta BCK \).
- Để diện tích của tứ giác \( ABIK \) lớn nhất, ta cần tối ưu hóa diện tích của hai tam giác này.
- Ta có thể sử dụng phương pháp tính toán diện tích tam giác và tối ưu hóa bằng cách sử dụng đạo hàm hoặc các phương pháp hình học khác.

3. **Kết luận**:
- Vị trí của điểm \( C \) trên đoạn \( AB \) sao cho tứ giác \( ABIK \) có diện tích lớn nhất là điểm mà tại đó diện tích của hai tam giác \( \Delta ACI \) và \( \Delta BCK \) được tối ưu hóa.