Để giải phương trình \(\sqrt{(1 + x)^3} - \sqrt{(1 - x)^3} = 2 + \sqrt{1 - x^2}\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Đặt điều kiện xác định:**
\[
\sqrt{(1 + x)^3} \text{ và } \sqrt{(1 - x)^3} \text{ xác định khi } -1 \leq x \leq 1
\]

2. **Phân tích phương trình:**
\[
\sqrt{(1 + x)^3} - \sqrt{(1 - x)^3} = 2 + \sqrt{1 - x^2}
\]

3. **Đặt \(a = \sqrt{1 + x}\) và \(b = \sqrt{1 - x}\):**
\[
a^2 = 1 + x \quad \text{và} \quad b^2 = 1 - x
\]
Khi đó, phương trình trở thành:
\[
a^3 - b^3 = 2 + \sqrt{ab}
\]

4. **Phân tích \(a^3 - b^3\):**
\[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
\]

5. **Tìm \(a - b\):**
\[
a - b = \sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}
\]

6. **Tìm \(a^2 + ab + b^2\):**
\[
a^2 + ab + b^2 = (1 + x) + \sqrt{(1 + x)(1 - x)} + (1 - x) = 2 + \sqrt{1 - x^2}
\]

7. **Thay vào phương trình:**
\[
(\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x})(2 + \sqrt{1 - x^2}) = 2 + \sqrt{1 - x^2}
\]

8. **Giả sử \(2 + \sqrt{1 - x^2} \neq 0\):**
\[
\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x} = 1
\]

9. **Bình phương hai vế:**
\[
(\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x})^2 = 1^2
\]
\[
(1 + x) + (1 - x) - 2\sqrt{(1 + x)(1 - x)} = 1
\]
\[
2 - 2\sqrt{1 - x^2} = 1
\]
\[
2 - 1 = 2\sqrt{1 - x^2}
\]
\[
1 = 2\sqrt{1 - x^2}
\]
\[
\sqrt{1 - x^2} = \frac{1}{2}
\]
\[
1 - x^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2
\]
\[
1 - x^2 = \frac{1}{4}
\]
\[
x^2 = 1 - \frac{1}{4}
\]
\[
x^2 = \frac{3}{4}
\]
\[
x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}
\]
\[
x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

10. **Kiểm tra lại các giá trị \(x\):**
\[
x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{và} \quad x = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Vậy, nghiệm của phương trình là:
\[
x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
\]