Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán này.

**a) Chứng minh tứ giác PAOB nội tiếp**

Để chứng minh tứ giác PAOB nội tiếp, ta cần chứng minh rằng bốn điểm P, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn.

Xét hai tam giác PAO và PBO:
- PA và PB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) từ điểm P, do đó PA = PB.
- Góc PAO và góc PBO đều là góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại tiếp điểm, do đó chúng đều bằng 90 độ.

Vì PA = PB và góc PAO = góc PBO = 90 độ, nên tứ giác PAOB có hai góc đối diện bằng nhau và đều là góc vuông. Do đó, tứ giác PAOB nội tiếp trong một đường tròn đường kính PO.

**b) Chứng minh PA² = PH.PO**

Ta có:
- PA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, do đó PA vuông góc với OA tại A.
- Tương tự, PB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, do đó PB vuông góc với OB tại B.

Xét tam giác PAO vuông tại A:
- PA² = PO² - OA² (theo định lý Pythagore).

Gọi H là giao điểm của PO và AB. Ta có:
- OH là đường cao từ O xuống AB trong tam giác vuông PAO.
- Do đó, PH là đoạn thẳng từ P đến H.

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
- PA² = PH * PO.

**c) Chứng minh góc OMN = OHN**

Gọi M là điểm cắt thứ hai của đường thẳng PN với đường tròn (O).

Xét tam giác OPN và tam giác OHN:
- Góc OPN và góc OHN là góc đối đỉnh, do đó chúng bằng nhau.
- Góc OMN và góc OHN là góc nội tiếp cùng chắn cung ON của đường tròn (O), do đó chúng bằng nhau.

Vì vậy, góc OMN = OHN.

**d) Chứng minh đường thẳng KI vuông góc với đường thẳng AM**

Gọi K là giao điểm của đường thẳng qua N song song với PO và đường thẳng AO.

Xét tam giác AMN:
- I là trung điểm của MN, do đó AI là đường trung tuyến của tam giác AMN.
- Đường thẳng qua N song song với PO cắt AO tại K, do đó AK là đường trung tuyến của tam giác AMN.

Vì AI và AK đều là đường trung tuyến của tam giác AMN, nên chúng cắt nhau tại điểm I và tạo thành góc vuông với AM.

Do đó, đường thẳng KI vuông góc với đường thẳng AM.