Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Biết rằng \(\frac{AC}{AB} = \sqrt{2}\) và \(HC - HB = 2 \text{ cm}\). Ta cần tính:

a) Tỉ số \(\frac{HC}{HB}\).

b) Các cạnh của tam giác \(ABC\).

### Giải:

#### a) Tỉ số \(\frac{HC}{HB}\)

Ta có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) hạ từ \(A\) xuống \(BC\). Gọi \(H\) là chân đường cao \(AH\).

Theo tính chất của tam giác vuông, ta có:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Do \(\frac{AC}{AB} = \sqrt{2}\), ta đặt \(AC = x\) và \(AB = x\sqrt{2}\).

Ta có:
\[ BC^2 = AB^2 - AC^2 = (x\sqrt{2})^2 - x^2 = 2x^2 - x^2 = x^2 \]
\[ BC = x \]

Do đó, \(BC = x\).

Ta có:
\[ HC - HB = 2 \text{ cm} \]

Vì \(H\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(BC\), nên \(H\) chia \(BC\) thành hai đoạn \(HC\) và \(HB\) sao cho:
\[ HC + HB = BC = x \]

Gọi \(HC = y\) và \(HB = z\). Ta có:
\[ y + z = x \]
\[ y - z = 2 \]

Giải hệ phương trình này:
\[ y + z = x \]
\[ y - z = 2 \]

Cộng hai phương trình:
\[ 2y = x + 2 \]
\[ y = \frac{x + 2}{2} \]

Trừ hai phương trình:
\[ 2z = x - 2 \]
\[ z = \frac{x - 2}{2} \]

Tỉ số \(\frac{HC}{HB}\) là:
\[ \frac{HC}{HB} = \frac{y}{z} = \frac{\frac{x + 2}{2}}{\frac{x - 2}{2}} = \frac{x + 2}{x - 2} \]

#### b) Các cạnh của tam giác \(ABC\)

Ta đã biết:
\[ AB = x\sqrt{2} \]
\[ AC = x \]
\[ BC = x \]

Từ hệ phương trình:
\[ y + z = x \]
\[ y - z = 2 \]

Ta đã giải được:
\[ y = \frac{x + 2}{2} \]
\[ z = \frac{x - 2}{2} \]

Do đó:
\[ HC = \frac{x + 2}{2} \]
\[ HB = \frac{x - 2}{2} \]

Ta có:
\[ HC - HB = 2 \]

Thay \(HC\) và \(HB\) vào:
\[ \frac{x + 2}{2} - \frac{x - 2}{2} = 2 \]
\[ \frac{(x + 2) - (x - 2)}{2} = 2 \]
\[ \frac{4}{2} = 2 \]
\[ 2 = 2 \]

Điều này đúng, nên các giá trị đã tính là chính xác.

Vậy, các cạnh của tam giác \(ABC\) là:
\[ AB = x\sqrt{2} \]
\[ AC = x \]
\[ BC = x \]

Để tìm giá trị cụ thể của \(x\), ta cần thêm thông tin về độ dài cụ thể của một trong các cạnh. Tuy nhiên, với thông tin hiện tại, ta chỉ có thể xác định tỉ số và các biểu thức liên quan đến \(x\).