Cho hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
(m - 2)x - 3y = -5 \\
x + my = 3
\end{cases}
\]

a) Giải hệ với \( m = 1 \):

Thay \( m = 1 \) vào hệ phương trình, ta có:
\[
\begin{cases}
(1 - 2)x - 3y = -5 \\
x + 1y = 3
\end{cases}
\]

Tức là:
\[
\begin{cases}
- x - 3y = -5 \\
x + y = 3
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng đại số. Cộng hai phương trình lại với nhau:
\[
(-x - 3y) + (x + y) = -5 + 3
\]
\[
-2y = -2
\]
\[
y = 1
\]

Thay \( y = 1 \) vào phương trình thứ hai:
\[
x + 1 = 3
\]
\[
x = 2
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = 1 \) là \( (x, y) = (2, 1) \).

b) Chứng minh rằng hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi \( m \). Tìm nghiệm duy nhất theo \( m \).

Xét hệ phương trình tổng quát:
\[
\begin{cases}
(m - 2)x - 3y = -5 \\
x + my = 3
\end{cases}
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác 0. Ma trận hệ số là:
\[
\begin{pmatrix}
m - 2 & -3 \\
1 & m
\end{pmatrix}
\]

Tính định thức của ma trận này:
\[
\Delta = (m - 2)m - (-3 \cdot 1) = m^2 - 2m + 3
\]

Ta cần chứng minh rằng \( \Delta \neq 0 \) với mọi \( m \):
\[
m^2 - 2m + 3 \neq 0
\]

Xét phương trình \( m^2 - 2m + 3 = 0 \):
\[
\Delta' = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8
\]

Do \( \Delta' < 0 \), phương trình \( m^2 - 2m + 3 = 0 \) vô nghiệm. Vậy \( m^2 - 2m + 3 \neq 0 \) với mọi \( m \).

Do đó, hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi \( m \).

Để tìm nghiệm duy nhất theo \( m \), ta sử dụng phương pháp Cramer. Đặt:
\[
\Delta_x = \begin{vmatrix}
-5 & -3 \\
3 & m
\end{vmatrix} = (-5)m - (-3 \cdot 3) = -5m + 9
\]

\[
\Delta_y = \begin{vmatrix}
m - 2 & -5 \\
1 & 3
\end{vmatrix} = (m - 2) \cdot 3 - (-5 \cdot 1) = 3m - 6 + 5 = 3m - 1
\]

Nghiệm của hệ phương trình là:
\[
x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-5m + 9}{m^2 - 2m + 3}
\]
\[
y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{3m - 1}{m^2 - 2m + 3}
\]

Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình theo \( m \) là:
\[
(x, y) = \left( \frac{-5m + 9}{m^2 - 2m + 3}, \frac{3m - 1}{m^2 - 2m + 3} \right)
\]