Để chứng minh rằng góc \( MIB = 90^\circ \), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và các phép đối xứng. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. **Xác định các điểm đối xứng:**
- Gọi \( I \) là trung điểm của \( AD \).
- Điểm \( E \) đối xứng với \( D \) qua \( IC \), tức là \( IC \) là đường trung trực của \( DE \). Do đó, \( IC \perp DE \) và \( IC \) cắt \( DE \) tại trung điểm của \( DE \).
- Tương tự, điểm \( F \) đối xứng với \( D \) qua \( IB \), tức là \( IB \) là đường trung trực của \( DF \). Do đó, \( IB \perp DF \) và \( IB \) cắt \( DF \) tại trung điểm của \( DF \).

2. **Xác định điểm \( K \):**
- Gọi \( BF \) cắt \( NE \) tại \( K \).

3. **Xác định các điểm \( M \) và \( N \):**
- Đường thẳng qua \( A \) song song với \( BC \) cắt \( BF \) tại \( M \) và cắt \( CE \) tại \( N \).

4. **Chứng minh \( MIB = 90^\circ \):**
- Vì \( M \) nằm trên đường thẳng qua \( A \) song song với \( BC \), nên \( M \) cũng nằm trên đường thẳng song song với \( BC \) và đi qua \( A \).
- Do đó, \( M \) là một điểm trên đường thẳng song song với \( BC \) và cách đều \( B \) và \( C \) theo chiều dọc.
- Vì \( I \) là trung điểm của \( AD \), và \( AD \) là đường cao của tam giác \( ABC \), nên \( I \) nằm trên đường trung trực của \( BC \).
- Đường trung trực của \( BC \) vuông góc với \( BC \) và đi qua trung điểm của \( BC \).

5. **Sử dụng tính chất đối xứng:**
- Vì \( M \) nằm trên đường thẳng song song với \( BC \) qua \( A \), và \( I \) nằm trên đường trung trực của \( BC \), nên \( M \) và \( I \) đối xứng nhau qua đường trung trực của \( BC \).
- Do đó, \( MI \) vuông góc với \( BC \).

6. **Kết luận:**
- Vì \( MI \) vuông góc với \( BC \), và \( IB \) cũng vuông góc với \( BC \) (vì \( I \) nằm trên đường trung trực của \( BC \)), nên \( MIB = 90^\circ \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( MIB = 90^\circ \).