Cho hình thang ABCD với đáy lớn CD bằng 6 cm và đáy bé AB bằng đáy lớn, tức là AB = CD = 6 cm. Kéo dài DC về phía C một đoạn CM sao cho CM = 1/3 CD, tức là CM = 1/3 * 6 = 2 cm.

a) Biết diện tích tam giác BCM là 12 cm². Tính diện tích tam giác BDC.

Diện tích tam giác BCM được tính bằng công thức:
\[ S_{BCM} = \frac{1}{2} \times BC \times CM \times \sin(\angle BCM) \]

Do CM = 2 cm và diện tích tam giác BCM là 12 cm², ta có:
\[ 12 = \frac{1}{2} \times BC \times 2 \times \sin(\angle BCM) \]
\[ 12 = BC \times \sin(\angle BCM) \]
\[ BC \times \sin(\angle BCM) = 12 \]

Diện tích tam giác BDC được tính bằng công thức:
\[ S_{BDC} = \frac{1}{2} \times BC \times CD \times \sin(\angle BDC) \]

Do CD = 6 cm và \(\angle BDC = \angle BCM\), ta có:
\[ S_{BDC} = \frac{1}{2} \times BC \times 6 \times \sin(\angle BCM) \]
\[ S_{BDC} = 3 \times BC \times \sin(\angle BCM) \]
\[ S_{BDC} = 3 \times 12 \]
\[ S_{BDC} = 36 \text{ cm}^2 \]

b) Tính diện tích hình thang ABCD.

Diện tích hình thang ABCD được tính bằng công thức:
\[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h \]

Do AB = CD = 6 cm, ta có:
\[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (6 + 6) \times h \]
\[ S_{ABCD} = 6h \]

Để tính được diện tích hình thang, ta cần biết chiều cao \( h \). Tuy nhiên, từ dữ kiện đã cho, ta không có đủ thông tin để tính chiều cao \( h \). Do đó, ta không thể tính diện tích hình thang ABCD mà không có thêm thông tin về chiều cao.

c) Nối A với M cắt BC tại I. So sánh BI và BC.

Do CM = 1/3 CD, tức là CM = 2 cm và CD = 6 cm. Khi nối A với M, ta có tam giác ACM và tam giác BCI đồng dạng vì chúng có góc chung tại C và các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng là:
\[ \frac{CM}{CD} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Do đó, tỉ lệ giữa BI và BC là:
\[ \frac{BI}{BC} = \frac{1}{3} \]

Vậy, BI bằng 1/3 BC.