Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán.

### Phần a: Giải phương trình (1) khi m = 6

Khi \( m = 6 \), phương trình trở thành:
\[ x^2 + 5x + 6 - 2 = 0 \]
\[ x^2 + 5x + 4 = 0 \]

Đây là phương trình bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) với \( a = 1 \), \( b = 5 \), và \( c = 4 \). Chúng ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Tính toán các giá trị:
\[ b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]
\[ \sqrt{9} = 3 \]

Do đó, các nghiệm của phương trình là:
\[ x = \frac{-5 \pm 3}{2} \]

Vậy:
\[ x_1 = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
\[ x_2 = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Vậy nghiệm của phương trình khi \( m = 6 \) là \( x_1 = -1 \) và \( x_2 = -4 \).

### Phần b: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) sao cho biểu thức \( S = (x_1 - x_2)^2 + 8x_1x_2 \) đạt giá trị lớn nhất

Đầu tiên, chúng ta sử dụng định lý Viète cho phương trình bậc hai \( x^2 + 5x + m - 2 = 0 \):
\[ x_1 + x_2 = -5 \]
\[ x_1 x_2 = m - 2 \]

Biểu thức cần tối ưu là:
\[ S = (x_1 - x_2)^2 + 8x_1x_2 \]

Sử dụng định lý Viète:
\[ (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 \]
\[ (x_1 - x_2)^2 = (-5)^2 - 4(x_1 x_2) \]
\[ (x_1 - x_2)^2 = 25 - 4(m - 2) \]
\[ (x_1 - x_2)^2 = 25 - 4m + 8 \]
\[ (x_1 - x_2)^2 = 33 - 4m \]

Do đó, biểu thức \( S \) trở thành:
\[ S = (33 - 4m) + 8x_1x_2 \]
\[ S = 33 - 4m + 8(m - 2) \]
\[ S = 33 - 4m + 8m - 16 \]
\[ S = 33 - 16 + 4m \]
\[ S = 17 + 4m \]

Biểu thức \( S = 17 + 4m \) là một hàm tuyến tính của \( m \). Để \( S \) đạt giá trị lớn nhất, \( m \) cần phải đạt giá trị lớn nhất có thể. Tuy nhiên, để phương trình có hai nghiệm thực, điều kiện cần là:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \geq 0 \]
\[ \Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 2) \geq 0 \]
\[ 25 - 4(m - 2) \geq 0 \]
\[ 25 - 4m + 8 \geq 0 \]
\[ 33 - 4m \geq 0 \]
\[ 4m \leq 33 \]
\[ m \leq \frac{33}{4} \]
\[ m \leq 8.25 \]

Vậy giá trị lớn nhất của \( m \) là \( 8.25 \). Khi đó:
\[ S = 17 + 4 \cdot 8.25 = 17 + 33 = 50 \]

Vậy giá trị lớn nhất của \( S \) là 50 khi \( m = 8.25 \).