Để chứng minh tứ giác \( SPID \) nội tiếp, ta cần chứng minh rằng bốn điểm \( S, P, I, D \) cùng nằm trên một đường tròn.

Trước hết, ta nhắc lại một số tính chất liên quan đến tam giác nội tiếp và ngoại tiếp:

1. \( I \) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \).
2. \( D, E, F \) lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh \( BC, CA, AB \).
3. \( S \) là giao điểm của \( EF \) và \( BC \).
4. \( P \) là giao điểm của \( AD \) với đường tròn nội tiếp (I).

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng \( \angle SPI = \angle SDI \).

### Bước 1: Chứng minh \( \angle SPI = \angle SFI \)

Do \( EF \) là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tại \( F \), ta có:
\[ \angle SFI = \angle SFE \]
Do \( S \) nằm trên \( EF \), ta có:
\[ \angle SFE = \angle SPI \]
Vậy:
\[ \angle SPI = \angle SFI \]

### Bước 2: Chứng minh \( \angle SDI = \angle SFI \)

Do \( D \) là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với \( BC \), ta có:
\[ \angle SDI = \angle SDE \]
Do \( S \) nằm trên \( BC \), ta có:
\[ \angle SDE = \angle SFI \]
Vậy:
\[ \angle SDI = \angle SFI \]

### Kết hợp hai bước trên

Từ hai bước trên, ta có:
\[ \angle SPI = \angle SDI \]

### Kết luận

Do \( \angle SPI = \angle SDI \), ta suy ra rằng tứ giác \( SPID \) nội tiếp đường tròn.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng tứ giác \( SPID \) là tứ giác nội tiếp.