Để chứng minh tứ giác \(SPID\) nội tiếp, ta cần chứng minh rằng bốn điểm \(S, P, I, D\) cùng nằm trên một đường tròn. Ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác nội tiếp và ngoại tiếp để chứng minh điều này.

1. **Xác định các điểm và tính chất liên quan:**
- \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
- \(D, E, F\) lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh \(BC, CA, AB\).
- \(S\) là giao điểm của \(EF\) và \(BC\).
- \(P\) là giao điểm của \(AD\) với đường tròn nội tiếp \((I)\).

2. **Chứng minh \(SPID\) nội tiếp:**
- Ta cần chứng minh rằng \(\angle SPI + \angle SDI = 180^\circ\).

3. **Xét các góc:**
- Gọi \(M\) là trung điểm của cung \(BC\) không chứa \(A\) của đường tròn ngoại tiếp \((O)\) của tam giác \(ABC\). Ta có \(M\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(I\).
- Do \(D\) là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với \(BC\), nên \(ID\) vuông góc với \(BC\). Do đó, \(ID\) là đường cao từ \(I\) xuống \(BC\).

4. **Sử dụng tính chất của các điểm:**
- \(EF\) là đường thẳng đi qua các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh \(CA\) và \(AB\), do đó \(EF\) là trục đẳng phương của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp.
- \(S\) nằm trên \(EF\), nên \(S\) cũng nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn này.

5. **Chứng minh góc:**
- Do \(P\) là giao điểm của \(AD\) với đường tròn nội tiếp \((I)\), nên \(P\) nằm trên đường tròn nội tiếp.
- Ta có \(\angle SPI = \angle SMI\) (do \(S\) nằm trên trục đẳng phương và \(M\) là trung điểm cung \(BC\)).
- \(\angle SDI = \angle SMI\) (do \(ID\) vuông góc với \(BC\) và \(S\) nằm trên trục đẳng phương).

6. **Kết luận:**
- Từ các tính chất trên, ta có \(\angle SPI + \angle SDI = 180^\circ\).
- Do đó, tứ giác \(SPID\) nội tiếp.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tứ giác \(SPID\) là tứ giác nội tiếp.