Để giải quyết các câu hỏi này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và tỉ lệ diện tích.

### a) So sánh diện tích tam giác ANM và ABC

Trước hết, ta cần xác định tỉ lệ các đoạn thẳng trong tam giác ABC.

- BN = \(\frac{1}{4}\) BC, do đó CN = \(\frac{3}{4}\) BC.
- M là trung điểm của AC, do đó AM = MC.

Xét tam giác ABC, ta có:
- Diện tích tam giác ANM là một phần của diện tích tam giác ABC.

Diện tích tam giác ANM có thể được tính bằng cách sử dụng tỉ lệ các đoạn thẳng và diện tích tam giác lớn hơn. Vì M là trung điểm của AC, nên diện tích tam giác AMC bằng một nửa diện tích tam giác ABC.

Diện tích tam giác ANM là một phần của diện tích tam giác AMC. Vì BN = \(\frac{1}{4}\) BC, nên diện tích tam giác ANM bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích tam giác AMC.

Do đó, diện tích tam giác ANM bằng \(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}\) diện tích tam giác ABC, tức là \(\frac{1}{8}\) diện tích tam giác ABC.

### b) Nối B với M, BM cắt AN tại O. So sánh ON và OA

Ta sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ANM với điểm O nằm trên đường thẳng BM.

Theo định lý Menelaus, ta có:
\[
\frac{AO}{ON} \times \frac{NB}{BM} \times \frac{MC}{CA} = 1
\]

Vì M là trung điểm của AC, nên \(\frac{MC}{CA} = \frac{1}{2}\).

Vì BN = \(\frac{1}{4}\) BC, nên \(\frac{NB}{BM} = \frac{1}{4}\).

Do đó, ta có:
\[
\frac{AO}{ON} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = 1
\]

Suy ra:
\[
\frac{AO}{ON} = 8
\]

Vậy, AO = 8 ON.

### c) Cho diện tích tam giác OMN bằng 15 cm². Tính diện tích tam giác ABC

Ta đã biết diện tích tam giác ANM bằng \(\frac{1}{8}\) diện tích tam giác ABC.

Diện tích tam giác OMN là một phần của diện tích tam giác ANM. Vì AO = 8 ON, nên diện tích tam giác OMN bằng \(\frac{1}{9}\) diện tích tam giác ANM (vì tỉ lệ diện tích là tỉ lệ bình phương của tỉ lệ đoạn thẳng).

Do đó, diện tích tam giác OMN bằng \(\frac{1}{9}\) diện tích tam giác ANM.

Gọi diện tích tam giác ABC là S. Ta có:
\[
\frac{1}{9} \times \frac{1}{8} S = 15
\]

Suy ra:
\[
\frac{S}{72} = 15
\]

Do đó:
\[
S = 15 \times 72 = 1080 \text{ cm}^2
\]

Vậy diện tích tam giác ABC là 1080 cm².