Để chứng minh hai bất đẳng thức \( m^2 + m + 2 > 0 \) và \( 9m^2 + 2m + 8 > 0 \) với mọi \( m \), chúng ta sẽ xem xét từng bất đẳng thức một.

### Bất đẳng thức thứ nhất: \( m^2 + m + 2 > 0 \)

Xét hàm số \( f(m) = m^2 + m + 2 \).

Để chứng minh \( f(m) > 0 \) với mọi \( m \), ta cần xem xét nghiệm của phương trình \( m^2 + m + 2 = 0 \).

Phương trình bậc hai \( m^2 + m + 2 = 0 \) có nghiệm hay không phụ thuộc vào delta (\( \Delta \)) của nó:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 \]

Vì \( \Delta < 0 \), phương trình \( m^2 + m + 2 = 0 \) không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số \( f(m) = m^2 + m + 2 \) không cắt trục hoành và luôn nằm trên trục hoành.

Do đó, \( m^2 + m + 2 > 0 \) với mọi \( m \).

### Bất đẳng thức thứ hai: \( 9m^2 + 2m + 8 > 0 \)

Xét hàm số \( g(m) = 9m^2 + 2m + 8 \).

Để chứng minh \( g(m) > 0 \) với mọi \( m \), ta cần xem xét nghiệm của phương trình \( 9m^2 + 2m + 8 = 0 \).

Phương trình bậc hai \( 9m^2 + 2m + 8 = 0 \) có nghiệm hay không phụ thuộc vào delta (\( \Delta \)) của nó:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 9 \cdot 8 = 4 - 288 = -284 \]

Vì \( \Delta < 0 \), phương trình \( 9m^2 + 2m + 8 = 0 \) không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số \( g(m) = 9m^2 + 2m + 8 \) không cắt trục hoành và luôn nằm trên trục hoành.

Do đó, \( 9m^2 + 2m + 8 > 0 \) với mọi \( m \).

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[ m^2 + m + 2 > 0 \]
và
\[ 9m^2 + 2m + 8 > 0 \]
với mọi \( m \).