Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số vừa là bội của 12 vừa là ước của 120.

Để tìm các số tự nhiên có hai chữ số vừa là bội của 12 vừa là ước của 120, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm các bội của 12 trong khoảng từ 10 đến 99:
- Các bội của 12 là: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96.

2. Kiểm tra xem các số này có phải là ước của 120 hay không:
- 120 chia hết cho 12: \(120 \div 12 = 10\)
- 120 chia hết cho 24: \(120 \div 24 = 5\)
- 120 chia hết cho 36: \(120 \div 36 \approx 3.33\) (không phải số nguyên)
- 120 chia hết cho 48: \(120 \div 48 \approx 2.5\) (không phải số nguyên)
- 120 chia hết cho 60: \(120 \div 60 = 2\)
- 120 chia hết cho 72: \(120 \div 72 \approx 1.67\) (không phải số nguyên)
- 120 chia hết cho 84: \(120 \div 84 \approx 1.43\) (không phải số nguyên)
- 120 chia hết cho 96: \(120 \div 96 \approx 1.25\) (không phải số nguyên)

Vậy các số tự nhiên có hai chữ số vừa là bội của 12 vừa là ước của 120 là: 12, 24, 60.

Bài 4: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên \( n \) thì tích \( n(n+1) \) là một số chẵn.

Xét tích \( n(n+1) \):
- Nếu \( n \) là số chẵn, thì \( n \) chia hết cho 2, do đó \( n(n+1) \) cũng chia hết cho 2.
- Nếu \( n \) là số lẻ, thì \( n+1 \) là số chẵn, do đó \( n(n+1) \) cũng chia hết cho 2.

Vậy với mọi số tự nhiên \( n \), tích \( n(n+1) \) luôn là một số chẵn.

Bài 5: Trong một phép tính chia số bị chia là 224 số dư là 15. Tìm số chia và thương.

Gọi số bị chia là \( a \), số chia là \( b \), thương là \( q \), và số dư là \( r \). Ta có:
\[ a = bq + r \]
Với \( a = 224 \) và \( r = 15 \), ta có:
\[ 224 = bq + 15 \]
\[ 209 = bq \]

Do \( b \) và \( q \) là các số tự nhiên, ta tìm các cặp \( (b, q) \) sao cho \( bq = 209 \). Ta thấy 209 là số nguyên tố, nên các cặp \( (b, q) \) là:
\[ (1, 209) \]
\[ (209, 1) \]

Vậy số chia có thể là 1 hoặc 209, và thương tương ứng là 209 hoặc 1.

Bài 7: Phân tích các số 95, 63, 123, 2014 ra thừa số nguyên tố.

- 95:
\[ 95 = 5 \times 19 \]

- 63:
\[ 63 = 3^2 \times 7 \]

- 123:
\[ 123 = 3 \times 41 \]

- 2014:
\[ 2014 = 2 \times 19 \times 53 \]

Bài 9: Trong các số 2540, 1347, 1638, số nào chia hết cho 2; 3; 5; 9?

- 2540:
- Chia hết cho 2 (số cuối là 0).
- Không chia hết cho 3 (tổng các chữ số là 2 + 5 + 4 + 0 = 11, không chia hết cho 3).
- Chia hết cho 5 (số cuối là 0).
- Không chia hết cho 9 (tổng các chữ số là 11, không chia hết cho 9).

- 1347:
- Không chia hết cho 2 (số cuối là 7).
- Chia hết cho 3 (tổng các chữ số là 1 + 3 + 4 + 7 = 15, chia hết cho 3).
- Không chia hết cho 5 (số cuối là 7).
- Không chia hết cho 9 (tổng các chữ số là 15, không chia hết cho 9).

- 1638:
- Chia hết cho 2 (số cuối là 8).
- Chia hết cho 3 (tổng các chữ số là 1 + 6 + 3 + 8 = 18, chia hết cho 3).
- Không chia hết cho 5 (số cuối là 8).
- Chia hết cho 9 (tổng các chữ số là 18, chia hết cho 9).

Vậy:
- Số 2540 chia hết cho 2 và 5.
- Số 1347 chia hết cho 3.
- Số 1638 chia hết cho 2, 3 và 9.