Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Toán học - Lớp 9
12/06 16:42:37

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a√(1 - b^2) + b( √1-c^2) + c√(1-a^2) = 3/2. Chứng minh rằng:  a^2 + b^2 + c^2 = 3/2                       

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a√(1 - b^2) + b( √1-c^2) + c√(1-a^2) = 3/2. Chứng minh rằng:  a^2+b^2+c^2=3/2                         
    lm dễ hỉu nha
1 trả lời
Hỏi chi tiết
Trợ lý ảo
23
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để chứng minh rằng \(a^2 + b^2 + c^2 = \frac{3}{2}\) khi \(a, b, c > 0\) và \(a\sqrt{1 - b^2} + b\sqrt{1 - c^2} + c\sqrt{1 - a^2} = \frac{3}{2}\), chúng ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Đặt \(a = \sin A\), \(b = \sin B\), \(c = \sin C\)** với \(A, B, C\) là các góc trong một tam giác vuông. Điều này có nghĩa là \(A + B + C = \frac{\pi}{2}\).

2. **Sử dụng đẳng thức đã cho**:
\[
a\sqrt{1 - b^2} + b\sqrt{1 - c^2} + c\sqrt{1 - a^2} = \frac{3}{2}
\]
Thay \(a = \sin A\), \(b = \sin B\), \(c = \sin C\) vào, ta có:
\[
\sin A \sqrt{1 - \sin^2 B} + \sin B \sqrt{1 - \sin^2 C} + \sin C \sqrt{1 - \sin^2 A} = \frac{3}{2}
\]
Vì \(1 - \sin^2 x = \cos^2 x\), ta có:
\[
\sin A \cos B + \sin B \cos C + \sin C \cos A = \frac{3}{2}
\]

3. **Sử dụng công thức lượng giác**:
\[
\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A + B) + \sin(A - B))
\]
và tương tự cho các cặp khác. Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng một cách tiếp cận khác.

4. **Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz**:
\[
(a\sqrt{1 - b^2} + b\sqrt{1 - c^2} + c\sqrt{1 - a^2})^2 \leq (a^2 + b^2 + c^2)((1 - b^2) + (1 - c^2) + (1 - a^2))
\]
\[
\left(\frac{3}{2}\right)^2 \leq (a^2 + b^2 + c^2)(3 - (a^2 + b^2 + c^2))
\]
\[
\frac{9}{4} \leq (a^2 + b^2 + c^2)(3 - a^2 - b^2 - c^2)
\]

5. **Đặt \(x = a^2 + b^2 + c^2\)**:
\[
\frac{9}{4} \leq x(3 - x)
\]
Giải phương trình bậc hai:
\[
x(3 - x) = \frac{9}{4}
\]
\[
3x - x^2 = \frac{9}{4}
\]
\[
4x^2 - 12x + 9 = 0
\]
\[
(2x - 3)^2 = 0
\]
\[
2x - 3 = 0
\]
\[
x = \frac{3}{2}
\]

Vậy ta có \(a^2 + b^2 + c^2 = \frac{3}{2}\).
0
0
Võ Thiện Tâm
12/06 16:45:32
+5đ tặng

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng ký tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng bạn bè học sinh cả nước, đến LAZI, sôi động, tích cực, trải nghiệm

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Gia sư Lazi Gia sư
×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo