Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P = x^2 + xy + y^2 \) với điều kiện \( (x + \sqrt{3} + x^2)(y + \sqrt{3} + y^2) = 9 \), ta sẽ sử dụng một số kỹ thuật biến đổi và bất đẳng thức.

Trước hết, ta đặt \( a = x + \sqrt{3} + x^2 \) và \( b = y + \sqrt{3} + y^2 \). Khi đó, ta có \( ab = 9 \).

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( P = x^2 + xy + y^2 \).

Để đơn giản hóa bài toán, ta xét \( x = y \). Khi đó, \( a = b \) và \( a^2 = 9 \) nên \( a = 3 \) hoặc \( a = -3 \). Tuy nhiên, vì \( x + \sqrt{3} + x^2 \) luôn dương (do \( x^2 \) và \( \sqrt{3} \) đều dương), nên \( a = 3 \).

Khi đó, ta có phương trình:
\[ x + \sqrt{3} + x^2 = 3 \]
\[ x^2 + x + \sqrt{3} - 3 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này:
\[ x^2 + x + (\sqrt{3} - 3) = 0 \]
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(\sqrt{3} - 3)}}{2} \]
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4\sqrt{3} + 12}}{2} \]
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}}{2} \]

Vì \( x \) phải là số thực, ta chọn nghiệm phù hợp. Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta xét \( x = y \).

Khi đó, \( P = x^2 + xy + y^2 = 3x^2 \).

Với \( x = \frac{-1 + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}}{2} \), ta tính \( P \):
\[ P = 3 \left( \frac{-1 + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}}{2} \right)^2 \]

Tuy nhiên, để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
\[ x^2 + xy + y^2 \geq \frac{3(x+y)^2}{4} \]

Với \( x = y \), ta có:
\[ P = 3x^2 \]

Do đó, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( x \) sao cho \( x + \sqrt{3} + x^2 = 3 \).

Giải phương trình này, ta có nghiệm \( x = \frac{-1 + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}}{2} \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là:
\[ P = 3 \left( \frac{-1 + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}}{2} \right)^2 \]

Tuy nhiên, để đơn giản hơn, ta có thể kiểm tra các giá trị cụ thể của \( x \) và \( y \) để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \).