Cho hàm số \( y = (2a-1)x - a + 2 \).

a) Xác định \( a \) để hàm số là hàm số bậc nhất.

Hàm số bậc nhất có dạng \( y = mx + b \) với \( m \neq 0 \). Do đó, hệ số của \( x \) trong hàm số phải khác 0.

Hệ số của \( x \) trong hàm số là \( 2a - 1 \). Để hàm số là hàm số bậc nhất, ta có:
\[ 2a - 1 \neq 0 \]
\[ 2a \neq 1 \]
\[ a \neq \frac{1}{2} \]

Vậy \( a \) phải khác \( \frac{1}{2} \) để hàm số là hàm số bậc nhất.

b) Xác định \( a \) để đồ thị hàm số đi qua điểm \( M(-1, 2) \).

Điểm \( M(-1, 2) \) thuộc đồ thị hàm số \( y = (2a-1)x - a + 2 \) khi và chỉ khi tọa độ của điểm này thỏa mãn phương trình hàm số. Thay \( x = -1 \) và \( y = 2 \) vào phương trình hàm số:
\[ 2 = (2a-1)(-1) - a + 2 \]
\[ 2 = -2a + 1 - a + 2 \]
\[ 2 = -3a + 3 \]
\[ -1 = -3a \]
\[ a = \frac{1}{3} \]

Vậy \( a = \frac{1}{3} \) để đồ thị hàm số đi qua điểm \( M(-1, 2) \).

c) Xác định \( a \) để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1.

Điểm cắt trục hoành có tung độ bằng 0. Do đó, ta thay \( x = 1 \) và \( y = 0 \) vào phương trình hàm số:
\[ 0 = (2a-1)(1) - a + 2 \]
\[ 0 = 2a - 1 - a + 2 \]
\[ 0 = a + 1 \]
\[ a = -1 \]

Vậy \( a = -1 \) để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1.

d) Xác định \( a \) để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.

Điểm cắt trục tung có hoành độ bằng 0. Do đó, ta thay \( x = 0 \) và \( y = 3 \) vào phương trình hàm số:
\[ 3 = (2a-1)(0) - a + 2 \]
\[ 3 = -a + 2 \]
\[ a = -1 \]

Vậy \( a = -1 \) để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.