Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và các đoạn thẳng trung điểm.

**a. Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành**

Ta có:
- E là trung điểm của AB, tức là \( AE = EB \).
- F là trung điểm của CD, tức là \( CF = FD \).

Trong hình bình hành ABCD, ta có:
- \( AB \parallel CD \) và \( AB = CD \).

Vì E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD, nên:
- \( AE \parallel CF \) và \( AE = CF \).

Tương tự, trong hình bình hành ABCD, ta có:
- \( AD \parallel BC \) và \( AD = BC \).

Vì E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD, nên:
- \( EF \parallel AD \) và \( EF = \frac{1}{2}AD \).

Vậy, tứ giác AECF có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó, tứ giác AECF là hình bình hành.

**b. Chứng minh DM = MN = NB**

Gọi M là giao điểm của AF và BD, N là giao điểm của CE và BD.

Xét hình bình hành ABCD, ta có:
- \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).

Do E và F là trung điểm của AB và CD, nên:
- \( AE = EB \) và \( CF = FD \).

Xét tam giác ABD, ta có:
- E là trung điểm của AB.
- F là trung điểm của CD.

Do đó, EF là đường trung bình của tam giác ABD, nên:
- \( EF \parallel AD \) và \( EF = \frac{1}{2}AD \).

Tương tự, xét tam giác BCD, ta có:
- E là trung điểm của AB.
- F là trung điểm của CD.

Do đó, EF là đường trung bình của tam giác BCD, nên:
- \( EF \parallel BC \) và \( EF = \frac{1}{2}BC \).

Vì EF là đường trung bình của cả hai tam giác ABD và BCD, nên EF chia BD thành ba đoạn bằng nhau:
- \( DM = MN = NB \).

Vậy, ta đã chứng minh được \( DM = MN = NB \).