Để tìm \( x, y \) thuộc tập hợp các số tự nhiên \( \mathbb{N} \) sao cho phương trình \( x^3y - x^2y + 4x^2 + 5xy - y^2 = 0 \) thỏa mãn, ta sẽ phân tích và giải phương trình này.

Đầu tiên, ta viết lại phương trình:
\[ x^3y - x^2y + 4x^2 + 5xy - y^2 = 0 \]

Nhóm các hạng tử có chứa \( y \):
\[ y(x^3 - x^2 + 5x - y) + 4x^2 = 0 \]

Chuyển \( 4x^2 \) sang vế phải:
\[ y(x^3 - x^2 + 5x - y) = -4x^2 \]

Vì \( x, y \) thuộc \( \mathbb{N} \), nên \( y \) phải là một số tự nhiên và \( -4x^2 \) phải là một số âm hoặc bằng 0. Điều này chỉ có thể xảy ra nếu \( y \) là một số tự nhiên sao cho \( y(x^3 - x^2 + 5x - y) \) là một số âm hoặc bằng 0.

Xét trường hợp \( y = 0 \):
\[ 0(x^3 - x^2 + 5x - 0) = -4x^2 \]
\[ 0 = -4x^2 \]
Điều này chỉ đúng khi \( x = 0 \). Tuy nhiên, \( x \) và \( y \) đều phải thuộc \( \mathbb{N} \) (tức là các số tự nhiên khác 0), nên \( x = 0 \) không phải là nghiệm hợp lệ.

Xét \( y \neq 0 \):
\[ y(x^3 - x^2 + 5x - y) = -4x^2 \]

Để phương trình này có nghiệm, ta cần \( x^3 - x^2 + 5x - y \) là một số âm hoặc bằng 0. Ta thử một số giá trị nhỏ của \( x \) và \( y \) để tìm nghiệm.

Giả sử \( x = 1 \):
\[ y(1^3 - 1^2 + 5 \cdot 1 - y) = -4 \cdot 1^2 \]
\[ y(1 - 1 + 5 - y) = -4 \]
\[ y(5 - y) = -4 \]
\[ 5y - y^2 = -4 \]
\[ y^2 - 5y - 4 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 16}}{2} \]
\[ y = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2} \]

Vì \( y \) phải là số tự nhiên, nên nghiệm này không hợp lệ.

Giả sử \( x = 2 \):
\[ y(2^3 - 2^2 + 5 \cdot 2 - y) = -4 \cdot 2^2 \]
\[ y(8 - 4 + 10 - y) = -16 \]
\[ y(14 - y) = -16 \]
\[ 14y - y^2 = -16 \]
\[ y^2 - 14y - 16 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64}}{2} \]
\[ y = \frac{14 \pm \sqrt{260}}{2} \]
\[ y = \frac{14 \pm 2\sqrt{65}}{2} \]
\[ y = 7 \pm \sqrt{65} \]

Vì \( y \) phải là số tự nhiên, nên nghiệm này cũng không hợp lệ.

Từ các thử nghiệm trên, ta thấy rằng không có giá trị \( x \) và \( y \) thuộc \( \mathbb{N} \) thỏa mãn phương trình đã cho. Do đó, phương trình không có nghiệm trong tập hợp các số tự nhiên.