Để phân tích đa thức \( x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1 \) thành nhân tử, chúng ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm các nghiệm của đa thức và sau đó phân tích thành các nhân tử bậc thấp hơn.

Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức
Trước tiên, chúng ta cần tìm các nghiệm của đa thức \( x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1 \). Chúng ta có thể thử các nghiệm hữu tỉ bằng cách sử dụng định lý nghiệm hữu tỉ, nhưng trong trường hợp này, việc thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ không mang lại kết quả.

Bước 2: Sử dụng phương pháp phân tích khác
Một cách khác để phân tích đa thức này là sử dụng các phương pháp phân tích đặc biệt hoặc nhận diện các mẫu đặc biệt trong đa thức.

Nhận thấy rằng đa thức \( x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1 \) có thể được viết lại dưới dạng:

\[ x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 + 1) \]

Chúng ta có thể kiểm tra lại bằng cách nhân hai đa thức này:

\[ (x^2 + x + 1)(x^2 + 1) = x^2(x^2 + 1) + x(x^2 + 1) + 1(x^2 + 1) \]
\[ = x^4 + x^2 + x^3 + x + x^2 + 1 \]
\[ = x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1 \]

Như vậy, đa thức \( x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1 \) có thể được phân tích thành nhân tử như sau:

\[ x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 + 1) \]

Đây là cách phân tích đa thức thành nhân tử.