Để chứng minh rằng \( M(x) = x^4 + x^3 + 2x^2 + 1 \) không có nghiệm, ta cần chứng minh rằng phương trình \( M(x) = 0 \) không có nghiệm thực nào.

Xét hàm số \( M(x) = x^4 + x^3 + 2x^2 + 1 \).

1. **Xét dấu của \( M(x) \) trên toàn bộ trục số thực:**

- Đầu tiên, ta xét giá trị của \( M(x) \) tại một số điểm cụ thể:
- \( M(0) = 0^4 + 0^3 + 2 \cdot 0^2 + 1 = 1 \)
- \( M(1) = 1^4 + 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 1 = 1 + 1 + 2 + 1 = 5 \)
- \( M(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 + 1 = 1 - 1 + 2 + 1 = 3 \)

- Ta thấy rằng \( M(0) > 0 \), \( M(1) > 0 \), và \( M(-1) > 0 \). Điều này gợi ý rằng \( M(x) \) có thể luôn dương, nhưng ta cần chứng minh điều này một cách tổng quát.

2. **Phân tích hàm số \( M(x) \):**

- Ta có thể viết lại \( M(x) \) dưới dạng:
\[
M(x) = x^4 + x^3 + 2x^2 + 1
\]
- Để chứng minh \( M(x) > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta có thể xét đạo hàm của \( M(x) \) để tìm các điểm cực trị và kiểm tra dấu của \( M(x) \) tại các điểm đó.

3. **Tính đạo hàm của \( M(x) \):**

- Đạo hàm bậc nhất của \( M(x) \) là:
\[
M'(x) = 4x^3 + 3x^2 + 4x
\]
- Đạo hàm bậc hai của \( M(x) \) là:
\[
M''(x) = 12x^2 + 6x + 4
\]

4. **Xét dấu của \( M''(x) \):**

- Ta thấy rằng \( M''(x) = 12x^2 + 6x + 4 \). Đây là một tam thức bậc hai với hệ số của \( x^2 \) là dương (12), do đó \( M''(x) \) luôn dương với mọi \( x \in \mathbb{R} \).
- Vì \( M''(x) > 0 \) với mọi \( x \), nên \( M'(x) \) là một hàm số đồng biến trên toàn bộ trục số thực.

5. **Xét dấu của \( M'(x) \):**

- Vì \( M'(x) \) là một hàm số đồng biến, ta chỉ cần xét dấu của \( M'(x) \) tại một điểm cụ thể để xác định dấu của nó trên toàn bộ trục số thực.
- Xét \( M'(0) = 4 \cdot 0^3 + 3 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 = 0 \).
- Vì \( M'(x) \) là đồng biến và \( M'(0) = 0 \), nên \( M'(x) < 0 \) khi \( x < 0 \) và \( M'(x) > 0 \) khi \( x > 0 \).

6. **Xét dấu của \( M(x) \):**

- Vì \( M'(x) \) thay đổi dấu từ âm sang dương tại \( x = 0 \), \( M(x) \) có thể có cực tiểu tại \( x = 0 \).
- Xét giá trị của \( M(x) \) tại \( x = 0 \):
\[
M(0) = 1
\]
- Vì \( M(0) > 0 \) và \( M(x) \) có cực tiểu tại \( x = 0 \), nên \( M(x) \) luôn dương với mọi \( x \in \mathbb{R} \).

Do đó, \( M(x) = x^4 + x^3 + 2x^2 + 1 \) không có nghiệm thực nào.