Để chứng minh hệ thức \( AH^3 = BC \cdot BM \cdot CN \) bằng định lý Pythagoras, ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các tam giác vuông và các đoạn thẳng liên quan:**
- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), do đó \(AB \perp AC\).
- \(AH\) là đường cao từ \(A\) đến \(BC\), do đó \(AH \perp BC\).
- \(M\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\), do đó \(HM \perp AB\).
- \(N\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AC\), do đó \(HN \perp AC\).

2. **Sử dụng định lý Pythagoras trong các tam giác vuông:**
- Trong tam giác vuông \(AHM\), ta có:
\[
AH^2 + HM^2 = AM^2
\]
- Trong tam giác vuông \(AHN\), ta có:
\[
AH^2 + HN^2 = AN^2
\]

3. **Liên hệ các đoạn thẳng:**
- Vì \(M\) và \(N\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\) tương ứng, ta có:
\[
HM = BM \quad \text{và} \quad HN = CN
\]

4. **Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \(ABC\):**
- Trong tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

5. **Sử dụng các đoạn thẳng liên quan đến đường cao \(AH\):**
- Ta có:
\[
AH^2 = AM \cdot AB \quad \text{và} \quad AH^2 = AN \cdot AC
\]
- Do đó:
\[
AM = \frac{AH^2}{AB} \quad \text{và} \quad AN = \frac{AH^2}{AC}
\]

6. **Chứng minh hệ thức \( AH^3 = BC \cdot BM \cdot CN \):**
- Ta biết rằng \(BM = HM\) và \(CN = HN\), do đó:
\[
BM = \frac{AH^2}{AB} \quad \text{và} \quad CN = \frac{AH^2}{AC}
\]
- Từ đó, ta có:
\[
BM \cdot CN = \left(\frac{AH^2}{AB}\right) \cdot \left(\frac{AH^2}{AC}\right) = \frac{AH^4}{AB \cdot AC}
\]
- Vì \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), ta có:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}
\]
- Do đó:
\[
BC \cdot BM \cdot CN = \sqrt{AB^2 + AC^2} \cdot \frac{AH^4}{AB \cdot AC}
\]
- Ta cần chứng minh:
\[
AH^3 = \sqrt{AB^2 + AC^2} \cdot \frac{AH^4}{AB \cdot AC}
\]
- Chia cả hai vế cho \(AH\), ta được:
\[
AH^2 = \sqrt{AB^2 + AC^2} \cdot \frac{AH^3}{AB \cdot AC}
\]
- Chia cả hai vế cho \(AH^2\), ta được:
\[
1 = \sqrt{AB^2 + AC^2} \cdot \frac{AH}{AB \cdot AC}
\]
- Nhân cả hai vế với \(AB \cdot AC\), ta được:
\[
AB \cdot AC = \sqrt{AB^2 + AC^2} \cdot AH
\]
- Chia cả hai vế cho \(\sqrt{AB^2 + AC^2}\), ta được:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{\sqrt{AB^2 + AC^2}}
\]
- Do đó, hệ thức \( AH^3 = BC \cdot BM \cdot CN \) được chứng minh.