Để chứng minh các bất đẳng thức này, chúng ta sẽ phân tích các biểu thức bậc hai và xem xét các điều kiện để chúng luôn dương hoặc luôn âm.

a) \( x^2 + 10x + 40 > 0 \) với mọi \( x \)

Để chứng minh \( x^2 + 10x + 40 > 0 \) với mọi \( x \), ta cần kiểm tra xem phương trình bậc hai này có nghiệm hay không. Nếu phương trình không có nghiệm thực, thì biểu thức sẽ luôn dương hoặc luôn âm.

Xét phương trình \( x^2 + 10x + 40 = 0 \):

Tính biệt thức (Delta):
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 100 - 160 = -60 \]

Vì \(\Delta < 0\), phương trình không có nghiệm thực. Do đó, đồ thị của hàm số \( y = x^2 + 10x + 40 \) là một parabol mở lên (vì hệ số của \( x^2 \) là dương) và không cắt trục hoành. Điều này có nghĩa là \( x^2 + 10x + 40 > 0 \) với mọi \( x \).

Vậy, \( x^2 + 10x + 40 > 0 \) với mọi \( x \).

c) \(-x^2 + 2x - 10 < 0\) với mọi \( x \)

Để chứng minh \(-x^2 + 2x - 10 < 0\) với mọi \( x \), ta cũng cần kiểm tra xem phương trình bậc hai này có nghiệm hay không. Nếu phương trình không có nghiệm thực, thì biểu thức sẽ luôn dương hoặc luôn âm.

Xét phương trình \(-x^2 + 2x - 10 = 0\):

Tính biệt thức (Delta):
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-10) = 4 - 40 = -36 \]

Vì \(\Delta < 0\), phương trình không có nghiệm thực. Do đó, đồ thị của hàm số \( y = -x^2 + 2x - 10 \) là một parabol mở xuống (vì hệ số của \( x^2 \) là âm) và không cắt trục hoành. Điều này có nghĩa là \(-x^2 + 2x - 10 < 0\) với mọi \( x \).

Vậy, \(-x^2 + 2x - 10 < 0\) với mọi \( x \).