Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{1}{(a+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^2} \geq \frac{1}{ab} + 1 \) với \( a, b > 0 \), ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản và biến đổi đại số.

Trước hết, ta xét bất đẳng thức AM-GM (trung bình cộng - trung bình nhân) cho hai số dương \( a \) và \( 1 \):

\[ a + 1 \geq 2\sqrt{a} \]

Tương tự, ta cũng có:

\[ b + 1 \geq 2\sqrt{b} \]

Do đó:

\[ (a+1)^2 \geq (2\sqrt{a})^2 = 4a \]
\[ (b+1)^2 \geq (2\sqrt{b})^2 = 4b \]

Từ đó suy ra:

\[ \frac{1}{(a+1)^2} \leq \frac{1}{4a} \]
\[ \frac{1}{(b+1)^2} \leq \frac{1}{4b} \]

Bây giờ, ta cộng hai bất đẳng thức này lại:

\[ \frac{1}{(a+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^2} \leq \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} \]

Ta cần chứng minh rằng:

\[ \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} \geq \frac{1}{ab} + 1 \]

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này bằng cách biến đổi nó:

\[ \frac{1}{4a} + \frac{1}{4b} \geq \frac{1}{ab} + 1 \]

Nhân cả hai vế với \( 4ab \):

\[ b + a \geq 4 + 4ab \]

Điều này không đúng trong mọi trường hợp, vì vậy ta cần xem xét lại cách tiếp cận. Thay vào đó, ta sẽ sử dụng một cách tiếp cận khác.

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức ban đầu bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[ \left( \frac{1}{(a+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^2} \right) \left( (a+1)^2 + (b+1)^2 \right) \geq \left( \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} \right)^2 \]

Ta có:

\[ (a+1)^2 + (b+1)^2 \leq 2(a^2 + b^2 + 2a + 2b + 1) \]

Do đó:

\[ \left( \frac{1}{(a+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^2} \right) \left( 2(a^2 + b^2 + 2a + 2b + 1) \right) \geq \left( \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} \right)^2 \]

Tuy nhiên, cách này cũng không dễ dàng để chứng minh bất đẳng thức ban đầu. Vì vậy, ta cần tìm một cách tiếp cận khác hoặc một bất đẳng thức khác để chứng minh.

Một cách tiếp cận khác là sử dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi \( f(x) = \frac{1}{(x+1)^2} \). Tuy nhiên, điều này cũng phức tạp.

Do đó, ta cần xem xét lại cách tiếp cận ban đầu và tìm cách khác để chứng minh bất đẳng thức này.