Để chứng minh bất đẳng thức \(-2 \leq x + y \leq 2\) với \(x, y > 0\) và \(x^2 + y^2 \leq 2\), ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản và các tính chất của hàm số.

Trước hết, ta có điều kiện \(x^2 + y^2 \leq 2\). Ta cần chứng minh rằng \(x + y\) nằm trong khoảng từ \(-2\) đến \(2\).

1. **Chứng minh \(x + y \leq 2\)**:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong không gian Euclid:
\[
(x + y)^2 \leq (1^2 + 1^2)(x^2 + y^2)
\]
\[
(x + y)^2 \leq 2(x^2 + y^2)
\]
Vì \(x^2 + y^2 \leq 2\), ta có:
\[
(x + y)^2 \leq 2 \cdot 2 = 4
\]
\[
(x + y)^2 \leq 4
\]
Lấy căn bậc hai hai vế (vì \(x, y > 0\), \(x + y \geq 0\)):
\[
x + y \leq 2
\]

2. **Chứng minh \(-2 \leq x + y\)**:

Vì \(x, y > 0\), ta có \(x + y > 0\). Do đó, \(x + y\) luôn lớn hơn 0 và chắc chắn lớn hơn -2:
\[
x + y > 0 > -2
\]
Điều này hiển nhiên đúng vì \(x, y > 0\).

Kết hợp hai kết quả trên, ta có:
\[
-2 < 0 \leq x + y \leq 2
\]

Do đó, ta đã chứng minh được rằng:
\[
-2 \leq x + y \leq 2
\]

Vậy, bất đẳng thức \(-2 \leq x + y \leq 2\) đã được chứng minh.