Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán này.

### a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức theo lũy thừa tăng dần của biến

**Đa thức M(x):**
\[ M(x) = -5x + 3x^2 + x(x^2 + 5) + 14x^2 - 6x - x^3 + x - 1 \]

Ta phân tích và thu gọn:
\[ M(x) = -5x + 3x^2 + x^3 + 5x + 14x^2 - 6x - x^3 + x - 1 \]
\[ M(x) = (-5x + 5x - 6x + x) + (3x^2 + 14x^2) + (x^3 - x^3) - 1 \]
\[ M(x) = (-6x + x) + 17x^2 - 1 \]
\[ M(x) = -6x + x + 17x^2 - 1 \]
\[ M(x) = -5x + 17x^2 - 1 \]

**Đa thức N(x):**
\[ N(x) = x(x - 5) - 3x^2 + 3x + 2x - 4x^2 + 3x^2 - 5 \]

Ta phân tích và thu gọn:
\[ N(x) = x^2 - 5x - 3x^2 + 3x + 2x - 4x^2 + 3x^2 - 5 \]
\[ N(x) = x^2 - 3x^2 + 3x^2 - 4x^2 + 3x + 2x - 5x - 5 \]
\[ N(x) = (x^2 - 3x^2 + 3x^2 - 4x^2) + (3x + 2x - 5x) - 5 \]
\[ N(x) = -3x^2 + 0x - 5 \]
\[ N(x) = -3x^2 - 5 \]

### b) Tính \( H(x) = M(x) + N(x) \) và \( G(x) = M(x) - N(x) \)

**Tính \( H(x) \):**
\[ H(x) = M(x) + N(x) \]
\[ H(x) = (-5x + 17x^2 - 1) + (-3x^2 - 5) \]
\[ H(x) = 17x^2 - 3x^2 - 5x - 1 - 5 \]
\[ H(x) = 14x^2 - 5x - 6 \]

**Tính \( G(x) \):**
\[ G(x) = M(x) - N(x) \]
\[ G(x) = (-5x + 17x^2 - 1) - (-3x^2 - 5) \]
\[ G(x) = 17x^2 + 3x^2 - 5x - 1 + 5 \]
\[ G(x) = 20x^2 - 5x + 4 \]

### c) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của \( H(x) \) và \( G(x) \)

**Đa thức \( H(x) = 14x^2 - 5x - 6 \):**
- Hệ số cao nhất: 14 (hệ số của \( x^2 \))
- Hệ số tự do: -6

**Đa thức \( G(x) = 20x^2 - 5x + 4 \):**
- Hệ số cao nhất: 20 (hệ số của \( x^2 \))
- Hệ số tự do: 4

### d) Tính \( H(-1) \), \( H(1) \), \( G(1) \), \( G(0) \)

**Tính \( H(-1) \):**
\[ H(-1) = 14(-1)^2 - 5(-1) - 6 \]
\[ H(-1) = 14 + 5 - 6 \]
\[ H(-1) = 13 \]

**Tính \( H(1) \):**
\[ H(1) = 14(1)^2 - 5(1) - 6 \]
\[ H(1) = 14 - 5 - 6 \]
\[ H(1) = 3 \]

**Tính \( G(1) \):**
\[ G(1) = 20(1)^2 - 5(1) + 4 \]
\[ G(1) = 20 - 5 + 4 \]
\[ G(1) = 19 \]

**Tính \( G(0) \):**
\[ G(0) = 20(0)^2 - 5(0) + 4 \]
\[ G(0) = 4 \]

### e) Tìm nghiệm của đa thức \( H(x) \)

Đa thức \( H(x) = 14x^2 - 5x - 6 \) là một đa thức bậc hai. Để tìm nghiệm của nó, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Với \( a = 14 \), \( b = -5 \), \( c = -6 \):
\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-6)}}{2 \cdot 14} \]
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 336}}{28} \]
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{361}}{28} \]
\[ x = \frac{5 \pm 19}{28} \]

Vậy hai nghiệm là:
\[ x_1 = \frac{5 + 19}{28} = \frac{24}{28} = \frac{6}{7} \]
\[ x_2 = \frac{5 - 19}{28} = \frac{-14}{28} = -\frac{1}{2} \]

Vậy nghiệm của đa thức \( H(x) \) là \( x = \frac{6}{7} \) và \( x = -\frac{1}{2} \).