Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán này.

**a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác CDM**

Để chứng minh hai tam giác bằng nhau, chúng ta cần chỉ ra rằng chúng có ba yếu tố tương ứng bằng nhau (cạnh-cạnh-cạnh, góc-góc-góc, cạnh-góc-cạnh, hoặc góc-cạnh-góc).

Xét tam giác ABM và tam giác CDM:
- \(M\) là trung điểm của \(AC\), do đó \(AM = MC\).
- Theo giả thiết, \(BM = MD\).

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh rằng \(AB = CD\).

Xét đoạn thẳng \(BD\):
- \(BM = MD\) (theo giả thiết).

Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\), ta có:
- \(AM = MC\).

Do đó, trong tam giác \(ABM\) và tam giác \(CDM\), ta có:
- \(AM = MC\) (cạnh tương ứng).
- \(BM = MD\) (cạnh tương ứng).
- \(M\) là điểm chung.

Vậy theo định lý cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có:
\[ \triangle ABM = \triangle CDM. \]

**b) Chứng minh \(AB \parallel CD\)**

Vì \( \triangle ABM = \triangle CDM \), các góc tương ứng của hai tam giác này bằng nhau. Đặc biệt, góc \( \angle BAM \) bằng góc \( \angle DCM \).

Do đó, hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) song song với nhau vì chúng tạo với đường thẳng \(AC\) các góc tương ứng bằng nhau.

**c) Trên \(CD\) kéo dài lấy điểm \(N\) sao cho \(CD = CN\) (C không bằng N), chứng minh \(BN \parallel AC\)**

Xét tam giác \(CDN\):
- \(CD = CN\) (theo giả thiết).

Do đó, tam giác \(CDN\) là tam giác cân tại \(C\).

Xét tam giác \(BMN\):
- \(BM = MD\) (theo giả thiết).
- \(MD = MN\) (vì \(CD = CN\) và \(D\) là trung điểm của \(CN\)).

Do đó, tam giác \(BMN\) là tam giác cân tại \(M\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\), ta có:
- \(AM = MC\).

Do đó, \(BN\) song song với \(AC\) vì \(BN\) là đường trung bình của tam giác \(ACN\).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(BN \parallel AC\).