Để chứng minh bất đẳng thức \(\left(\frac{12}{5}\right)^x + \left(\frac{15}{4}\right)^x + \left(\frac{20}{3}\right)^x \geq 3^x + 4^x + 5^x\) với mọi \(x \geq 0\), ta sẽ sử dụng một số tính chất của hàm số mũ và bất đẳng thức.

Trước hết, ta nhận thấy rằng các số \(\frac{12}{5}\), \(\frac{15}{4}\), và \(\frac{20}{3}\) đều lớn hơn các số 3, 4, và 5 tương ứng. Cụ thể:

\[
\frac{12}{5} = 2.4 > 3, \quad \frac{15}{4} = 3.75 > 4, \quad \frac{20}{3} \approx 6.67 > 5
\]

Bây giờ, ta sẽ xem xét hàm số \(f(x) = a^x\) với \(a > 1\). Hàm số này là hàm số tăng, nghĩa là nếu \(a > b\) thì \(a^x > b^x\) với mọi \(x > 0\).

Áp dụng tính chất này, ta có:

\[
\left(\frac{12}{5}\right)^x > 3^x, \quad \left(\frac{15}{4}\right)^x > 4^x, \quad \left(\frac{20}{3}\right)^x > 5^x
\]

Cộng các bất đẳng thức này lại, ta được:

\[
\left(\frac{12}{5}\right)^x + \left(\frac{15}{4}\right)^x + \left(\frac{20}{3}\right)^x > 3^x + 4^x + 5^x
\]

Tuy nhiên, bất đẳng thức này chỉ đúng khi \(x > 0\). Để chứng minh bất đẳng thức \(\left(\frac{12}{5}\right)^x + \left(\frac{15}{4}\right)^x + \left(\frac{20}{3}\right)^x \geq 3^x + 4^x + 5^x\) với mọi \(x \geq 0\), ta cần kiểm tra thêm trường hợp \(x = 0\).

Khi \(x = 0\), ta có:

\[
\left(\frac{12}{5}\right)^0 + \left(\frac{15}{4}\right)^0 + \left(\frac{20}{3}\right)^0 = 1 + 1 + 1 = 3
\]

và

\[
3^0 + 4^0 + 5^0 = 1 + 1 + 1 = 3
\]

Do đó, bất đẳng thức cũng đúng khi \(x = 0\).

Kết hợp lại, ta có:

\[
\left(\frac{12}{5}\right)^x + \left(\frac{15}{4}\right)^x + \left(\frac{20}{3}\right)^x \geq 3^x + 4^x + 5^x \quad \text{với mọi} \quad x \geq 0
\]

Vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.