Để tìm nghiệm nguyên của phương trình \(x^2 + 5y^2 - 4xy - 4y + 4 = 0\), ta sẽ thử biến đổi phương trình này để dễ dàng tìm ra các nghiệm nguyên.

Bước đầu tiên, hãy xem xét phương trình ban đầu:
\[x^2 + 5y^2 - 4xy - 4y + 4 = 0.\]

Ta có thể thử nghiệm các giá trị nguyên của \(x\) và \(y\) để xem liệu có nghiệm nào thỏa mãn phương trình hay không.

### Thử nghiệm các giá trị nhỏ của \(y\):

1. **Giá trị \(y = 0\):**
\[x^2 + 5(0)^2 - 4x(0) - 4(0) + 4 = 0 \implies x^2 + 4 = 0.\]
Phương trình này không có nghiệm nguyên vì \(x^2 = -4\) là vô lý.

2. **Giá trị \(y = 1\):**
\[x^2 + 5(1)^2 - 4x(1) - 4(1) + 4 = 0 \implies x^2 + 5 - 4x - 4 + 4 = 0 \implies x^2 - 4x + 5 = 0.\]
Phương trình này không có nghiệm nguyên vì nghiệm của phương trình bậc hai này không phải là số nguyên (có thể kiểm tra bằng cách tính discriminant).

3. **Giá trị \(y = -1\):**
\[x^2 + 5(-1)^2 - 4x(-1) - 4(-1) + 4 = 0 \implies x^2 + 5 + 4x + 4 + 4 = 0 \implies x^2 + 4x + 13 = 0.\]
Phương trình này cũng không có nghiệm nguyên vì discriminant của nó là âm.

4. **Giá trị \(y = 2\):**
\[x^2 + 5(2)^2 - 4x(2) - 4(2) + 4 = 0 \implies x^2 + 20 - 8x - 8 + 4 = 0 \implies x^2 - 8x + 16 = 0 \implies (x-4)^2 = 0.\]
Phương trình này có nghiệm \(x = 4\).

Vậy, với \(y = 2\), ta có nghiệm \(x = 4\).

5. **Giá trị \(y = -2\):**
\[x^2 + 5(-2)^2 - 4x(-2) - 4(-2) + 4 = 0 \implies x^2 + 20 + 8x + 8 + 4 = 0 \implies x^2 + 8x + 32 = 0.\]
Phương trình này không có nghiệm nguyên vì discriminant của nó là âm.

### Kết luận:
Phương trình \(x^2 + 5y^2 - 4xy - 4y + 4 = 0\) có nghiệm nguyên là \((x, y) = (4, 2)\).